数Ⅲの裏技「瞬間部分積分」の使い方を例題を使って解説【部分積分USA】

お勉強

※始めに注意を1つだけしておきます。

「瞬間部分積分」は一般的に使われるような言葉にはまだなっていません。

なので記述などの試験で「瞬間部分積分」という言葉を用いてはいけません。

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皆さんアッシェンテ!

今回は数Ⅲで使える裏技「瞬間部分積分」についてです。

瞬間部分積分ってご存知でしょうか?

これは数Ⅲで習う積分で使えるものです。

そのなかでも部分積分で計算が楽になるような方法になります。

簡単になるなら使ってみたいですよね?

そこで、瞬間部分積分がどんな場面で使えるか、どうやって使うのかを解説しました。

分かるとそんなに難しくもないので、マスターして数Ⅲの部分積分を楽に攻略しましょう。それでは!

レッツゴー

部分積分とは

ここは部分積分が理解できている方はとばしても大丈夫です。

それではまずは部分積分がどんなものなのかを説明していきます。

部分積分とは積分の ∫ の中に関数が2つあるときに使います。

文字で表すと、

∫f(x)g(x)=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx+C(積分定数)

のように積分結果が得られます。

※F(x)はf(x)を積分したものです。

1つ例を挙げると

∫(x2ex)dx

のような式が与えられたら、F(x)=ex、g(x)=x2とすると

∫(x2ex)dx=x2ex-∫2xexdx+C

となり、次はf(x)=ex、g(x)=2xとすると

∫2xexdx=2xex-∫2exdx+C

となり最終的に、

∫(x2ex)dx=x2ex-2xex+2ex+C

と求まります。

これは部分積分を2回しなくては解けないような問題になっています。

この様な問題を簡単に解けるようになるのが「瞬間部分積分」という方法になります。

瞬間部分積分

使える場面

瞬間部分積分がいつ使えるのか。

それは、部分積分をしたい式

∫f(x)g(x)

のf(x)かg(x)のどちらかが微分していくと消えていき(①)、もう片方は、積分しても難しくならない(②)ような関数の場合が一般的です。

具体的には

① x、 x2、 x2+x  これらは微分していくと0になります。

② ex、 cosx、 sinx  exに関しては積分をしても値は変わらない、三角関数に関しては、符号が変わるだけなのでこれらは積分を何度計算してもややこしい式が出てきません。

この①と②があるときに「瞬間部分積分」が使えます。

使い方

先ほどの例 ∫(x2ex)dxを考えてみましょう。

やり方は簡単で、

上の図のようにx2は微分していき、exは積分していくというのを書いていきます。

それを斜めにかけていくと、

x2ex、2xex、2ex

が出てきます。

これを+と-の符号を間違えないようにすると、

x2ex-2xex+2ex

となります。

なので解答は

∫(x2ex)dx=x2ex-2xex+2ex+C

となります。

+と-の符号は+から始まり、交互に-、+と変わっていくと覚えましょう。

これが瞬間部分積分の使い方になります。

多項式と三角関数

次は少し難しい多項式と三角関数で瞬間部分積分を使ってみましょう。

例として、

∫(x2+x)cosxdx

を考えます。

この場合は下のように計算していきます。

このように書くと、

∫(x2+x)cosxdx=(x2+x)sinx-{(2x+1)(-cosx)}+2(-sinx)+C
=(x2+x)sinx+(2x+1)cosx-2sinx+C
=(x2+x-2)sinx+(2x+1)cosx+C

と求まります。

慣れてきたら

「瞬間部分積分」に慣れてきたら、次のように計算していけるようにしましょう。

この式を文字で説明すると、

  1. 積分していっても難しくならないものはずっと積分していく
  2. 微分して0になるものは、初めはそのままで、次から微分していく
  3. 微分していたものに文字がなくなり定数になったら終わり
  4. 最後に積分定数Cを忘れない

この様な流れになります。

使う際の注意事項

始めにも言いましたが改めて注意をしておきます。

記述の解答などで「瞬間部分積分」という語句を使うのはやめましょう。

なぜなら、部分積分を簡単にしたものを「瞬間部分積分」と呼んでいるだけに過ぎないからです。

この先、一般的に「瞬間部分積分」という言葉が使われるようになるまでは記述などで使うのはやめましょう。

記述で「瞬間部分積分」を使う場合は、計算は「瞬間部分積分」行い、記述には、そのまま式の答えを書くか、

「部分積分を繰り返し使うことで以下のようになる」

などの言葉を付け加えましょう。

間違っても記述に「瞬間部分積分」という言葉を使わないように気を付けましょう。

まとめ

今回は「瞬間部分積分」について書きました。

分かればどうということはないと思います。

後はひたすら練習していき、慣れましょう。

それがこういったものを使いこなせるようになるために1番大事なことです。

また「瞬間部分積分」は部分積分が1回で終わるような場合は効果が薄いです。

ですが、∫(x3+x2)exdxのような部分積分を何度も使う場合は効果抜群なので覚えておいて損はないでしょう。

僕も高校生の時にこれに出会っていればもっと楽できたのにと思ってしまいました。

これを覚えて数Ⅲの部分積分を楽に攻略してやりましょう。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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