背理法っていったい何者?例題3問を使って解説してみた【ただのテンプレ作業です】

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お勉強

皆さんアッシェンテ!

今回は、「背理法」についてです。

そもそも背理法とは数学の証明方法の1つです。

どうやって使うのか、いつ使えるのかなど解説していきたいと思います。それでは!

レッツゴー 

背理法

背理法とは

証明したい命題Aがあるとします。

背理法ではまず命題Aを否定することから始まります。

そして、命題Aを否定したままだとどこかで矛盾が生じます。

矛盾が生じるということは始めに命題Aを否定したことが間違いであるということが分かります。

よって、命題Aが正しいと言える。

これが背理法の証明方法です。

文字だけでは分かりにくいので、1つ例題を解いてみます。

背理法でよく使われるのは√2が無理数であることの証明です。

では証明していきます。

例題:√2が無理数であることの証明

証明

√2が有理数であると仮定する。

√2は有理数なので、互いに素である自然数mとnを用いて、

√2=m/n

と表せる。

ここで式を整理すると、

2n²=m²

となる。

ここで、m²が2の倍数なので、mも2の倍数である。

よって、任意の整数kを用いて、

m=2k

と表せるので、

2n²=m²=4k²

となり、この式を整理すると、

n²=2k²

となり、n²が2の倍数なので、nも2の倍数となる。

これはmとnが互いに素であることと矛盾する。

よって√2は無理数である。

※互いに素とは、mとnは1以外に同じ約数を持たないことを示しています。
mとnはこれ以上約分できないと考えても良いです。

証明では、まず√2が無理数であることを否定します。

つまり、√2が有理数であると仮定して話を進めます。

すると矛盾が出てきました。

矛盾が出たら、あとは証明を締めくくって終わりです。

√3も同じように証明できます。

例題:√3が無理数であることの証明

証明

√3が有理数であると仮定する。

√3は有理数なので、互いに素である自然数mとnを用いて、

√3=m/n

と表せる。

式を整理すると、

3n²=m²

となる。

ここで、m²が3の倍数なので、mは3の倍数である。

よって、任意の整数kを用いて、

m=3k

と表せるので、

3n²=m²=9k²

となり、この式を整理すると、

n²=3k²

となり、n²が3の倍数なので、nは3の倍数となる。

これはmとnが互いに素であることと矛盾する。

よって√3は無理数である。

例題:三角形の内角のうち少なくとも1つは60°以上になる

証明

三角形の内角が全て60°未満であると仮定する。

すると、3つの内角の和が180度未満となる。

しかし、三角形の内角の和は180°であるので、これは矛盾する。

よって、三角形の内角の少なくともうち1つは60°以上になる。

まとめ

今回は背理法の使い方と、実際に問題を解いての解説となりました。

いかがでしたしょうか。

なんか難しい感じがしますが、テンプレがあるのでそれにあてはめる作業をするのが背理法です。

背理法は否が応でも数学的なセンスが試されます。

なので、普段から数学の問題を解いている人は、この証明が得意だと思います。

問題で、

「√3が無理数であることを証明せよ」

と出題されれば背理法の使い方は簡単ですが、

「√3は無理数であるか」

という問題が出た場合は、√3が無理数であることを知っていないと、背理法の導入で、

√3を無理数と仮定すると
√3を有理数と仮定すると

の2択で間違ってしまう可能性があります。

ここを間違ってしまうと、証明に時間が倍近くかかってしまうので、数学的な勘を持てるようにしましょう。

と、ながながと書いてしまいました。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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