【お勉強】「y=ax²と一次関数のグラフの問題で使える裏技」　一次関数の式が一瞬で求まる！？

今回は二次関数で使える裏技紹介していこうと思います。

これを知っているかどうかで点数は変わらないでしょう。

しかし、計算を早くしたい人や、検算用に知っておくとかなり有利になると思うのでぜひ最後まで見ていってください！

さっそく二次関数の問題で使える裏技へ！

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください！

まずは裏技

文字で表すと

まずは文字で裏技を紹介して、なぜそれが使えるのかを説明していきたいと思います。

まずは裏技から。

上図のような問題はよく見と思いますが、この問題で直線ABの式を求める場合にこのような式が使えます。

ｙ＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ－a₁ｘ₁ｘ₂

これが今回の裏技になります。

今回はこれだけ覚えて帰っても大丈夫です！

ここからは興味のある方だけ読んでやってください！

最後におまけとして△OABの面積の求め方も簡単にする方法も紹介しようと思います。

面積の方は裏技ではないんですが、知っておけばお得ですよ。

さて、この裏技ですが、文字だけではなんか分かりにくいし使い勝手が良さそうにも見えません。

なので、実際に数字を入れて考えてみましょう。

具体的な数字で考える

この場合、直線ABの一次関数の式を求めると、

ｙ＝2(－1＋2)ｘ－2×(－1)×2

より、

ｙ＝2ｘ+4

となります。

いつもなら、点ＡＢのｘ座標とｙ座標を、一次関数の一般式

ｙ＝aｘ＋b

に代入して、aとbの二次方程式を解くという面倒くさい手順を踏まなければなりません。

それが、2行、慣れれば1行の式で求めることができるんです。

裏技を使った場合と使わなかった場合の式の長さの比較

裏技を使った場合

ｙ＝2(－1＋2)ｘ－2×(－1)×2
ｙ＝2ｘ+4

 

裏技を使わなかった場合

2点Ａ(－1，2)、Ｂ(2，8)を通るので、一次関数の式、
ｙ＝aｘ＋b
に代入する。
2＝－a＋b・・・①(点Ａを代入した場合)
8＝2a＋b・・・②(点Ｂを代入した場合)
②－①をして、
6＝3a
a＝2
①に代入して、
2＝－2＋b
b＝4
よって、
ｙ＝2ｘ+4

 

うーん…

中学生の時に知りたかったよ！

と、

ｙ＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ－a₁ｘ₁ｘ₂

この式が使えそうなのは分かりましたが、いつでも成り立たなくては意味があまりありません。

そこでこの式が成り立つことを証明していきましょう。

式が成り立つ根拠(証明)①

ｙ＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ－a₁ｘ₁ｘ_{2・・・①}

この式が使えるということは、一次関数の式、

ｙ＝a₂ｘ＋b・・・②

のa₂とｂは以下の式で表されることになります。

a₂＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)・・・③

ｂ＝－a₁ｘ₁ｘ_{2・・・④}

①と②の式は同じ答えになるからですね。

では③の方からこれが使える根拠を示していきましょう。

a₂＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)が成り立つ根拠

その前に。

今回の一次関数のa₂のことを一次関数の変化の割合、または傾きと呼びます。

また、ｂのことを切片と呼びます。

この先の説明で使うので覚えておいてください！

さて、

a₂＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)

が成り立つのは簡単に説明できます。

ここのa₂は一次関数の変化の割合であると説明しましたが、二次関数にも変化の割合があります。

ｙ＝a₁ｘ²の二次関数でｘ座標がｘ₁からｘ₂まで増加した時の変化の割合をa₃とすると、

a₃＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)

という式になります。

この右の式見覚えがありますね。

そうなんです。

二次関数の変化の割合を求めたら一次関数の変化の割合も求まっているだけなんです。

しかし、なぜ二次関数の変化の割合はa₃＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)で表されるのでしょうか？

公式だからといえばそれまでですが公式がなぜ成り立つのかを考えてみましょう。

これが意外と楽しいですよ。

二次関数の変化の割合の公式はなぜ成り立つ？

そもそも変化の割合とは、

変化の割合＝yの増加量/xの増加量

で表されるんです。

これが根底にあります。

では、二次関数ｙ＝aｘ²でｘがｘ₁からｘ₂に増加した場合、ｙの増加量はどのようにあらわされるのでしょうか？

これは、二次関数の式にｘ₁とｘ₂を代入してｙの値を求めればよいです。

ｘ₁とｘ₂代入した時のｙの値をそれぞれ、_ｙ1と_ｙ2すると、

ｙ₁＝a(ｘ₁)²

ｙ₂＝a(ｘ₂)²

			ｘの増加量
ｘ1	→	ｘ2	ｘ2－ｘ1
			ｙの増加量
a(ｘ1)²	→	a(ｘ2)²	a(ｘ2)²－a(ｘ1)²

よって、変化の割合は、

変化の割合＝{a(ｘ₂)²－a(ｘ₁)²}/(ｘ₂－ｘ₁)
変化の割合＝a{(ｘ₂)²－(ｘ₁)²}/(ｘ₂－ｘ₁)

赤の部分を計算する。

ここで、

p²－ｑ²＝(ｐ－ｑ)(ｐ＋ｑ)

という式を使います。

{(ｘ₂)²－(ｘ₁)²}/(ｘ₂－ｘ₁)
＝(ｘ₂－ｘ₁)(ｘ₂＋ｘ₁)/(ｘ₂－ｘ₁)
＝ｘ₂＋ｘ₁

よって、

変化の割合＝a(ｘ₂＋ｘ₁)

二次関数の変化の割合はこれでいつでも成り立つことが証明できました。

次は切片bの式が成り立つことを証明していきましょう。

ｂ＝－a₁ｘ₁ｘ_{2が成り立つ根拠}

 

ここまでで、

ｙ＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ+b

まではもとめられました。

ここからは、点Ａか点Ｂのｘ座標とｙ座標を代入すれば良いです。

点Ａのｘとｙ座標を代入すると、

a₁(ｘ₁)²＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₁+b
b＝a₁(ｘ₁)²－a₁(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₁
b＝a₁ｘ₁{ｘ₁－(ｘ₁＋ｘ₂)}
b＝－a₁ｘ₁ｘ₂

となります。

よって、

b＝－a₁ｘ₁ｘ₂

が成り立つことが分かりました。

おまけ：△ＯＡＢを簡単に求めてみよう！

先ほどの例を使いまして説明していきます。

点Ｃの座標は

Ｃ(0，4)

となります。

この図で△ＯＡＢの面積は、△ＯＡＣと△ＯＢＣの面積を足せばよいです。

△ＯＡＣは底辺がＯＣ＝4で、高さが緑の部分、つまり点Ａのｘ座標の絶対値＝1です。

よって、

△ＯＡＣ＝4×1÷2＝2

となります。

△ＯＢＣも同様にして求めると、

△ＯＢＣ＝4×2÷2＝4

となります。よって、

△ＯＡＢ＝2+4＝6

と求まります。

ですが、この式を少しだけ短縮できます。

この三角形は底辺は同じＯＣなので、

△ＯＡＢ＝ＯＣの長さ×(点Ａのｘ座標の絶対値+点Ｂのｘ座標の絶対値)÷2

で計算できます。なので、

△ＯＡＢ＝4×(1+2)÷2＝4×3÷2＝6

と1行で求まります。

まとめ

この図で、直線ＡＢの式が、

ｙ＝a₁(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ－a₁ｘ₁ｘ₂

この式で求まることだけは覚えて帰ってください！

証明のやり方は他にもいろいろありますが、今回の本題とそれるのでまたの機会にします。

今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

関連記事

ネイピア数「e」って何やつ？複利と宝くじで軽く解説してみた【意外と身近に潜んでます】

音楽を聴きながら勉強するのってあり？3つのメリットと2つデメリット【自分的にはあり】

背理法っていったい何者？例題3問を使って解説してみた【ただのテンプレ作業です】

【一目で分かる！】図で解説。なぜ円の面積の公式は「半径×半径×円周率(π、3.14)」なのか

数Ⅲの裏技「瞬間部分積分」の使い方を例題を使って解説【部分積分USA】