ネイピア数「e」って何やつ?複利と宝くじで解説してみた【意外と身近に潜んでます】

お勉強

皆さんアッシェンテ!

今回はネイピア数についてです。

「ネイピア数ってなんぞ?」って方も多いと思います。

高校の時に自然対数「log」の底として出てくるくらいでしょうか。

今回は、そんな謎深きネイピア数についてです。

難しい話はあまりしません。

めちゃめちゃ詳しく知りたい方は、専門のものを読むことをおすすめします。

今回の記事はネイピア数って実は身近な存在なんだよってことが分かっていただければと思い書いてまいす。それでは!

レッツゴー

ネイピア数とは

ネイピア数は一般的に「e」で表されます。

eは以下のような値を取ります。

e=2.71828182……

また、eは数学の世界で「数学定数」と呼ばれています。

数学定数はなんか面白い性質を持っているものくらいの感覚で大丈夫です。

またこのネイピア数は「解析力学」という分野で非常に重要な定数です。

またネイピア数は円周率「π」などと同じように無理数と呼ばれるものになります。

無理数とは、分子と分母がどちらも整数である分数として表すことができない実数のことです。

なぜ「ネイピア数」と呼ばれているんでしょうか。

それは、「e」について最初に研究していたジョン・ネイピアという人物が由来となっています。

しかし、ネイピア自身は今使われてるようなネイピア数についてを示していたわけではありませんでした。

なので、欧米では「レオンハルト・オイラー」大先生から、「オイラー数」と呼ばれることもあります。

結構身近にネイピア数

ここまでネイピア数が2.718…という値であり、無理数と呼ばれていることまでは分かりました。

しかしだから何?って感じですよね。

ここからはネイピア数がどのように定義されて、実際どんな場面で出てくるのか。

身近な例で2つ挙げてみました。

ネイピア数の定義

ネイピア数は次ような式で定義されます。

また以下のようにも表されます。

1/eは

1/e≒0.36787944…

と続いていきます。

これを見て何が言いたいか理解出来た人、あなたは天才です。

僕のような凡才だという方、具体例で説明するので安心してください。

連続複利の元利合計

まずは一番馴染みのある複利計算の例から。

1年間で合計100%の金利が付く銀行を考えます。

もしもこの銀行が1年後に100%の金利を付けるとします。

この場合預けた金額は1年後に2倍になります。

次に、この銀行が半年に1回ずつ50%の金利を付けるとしたらどうでしょう。

預けた金額の何倍になるでしょうか?

合計の金利は同じだから2倍なんでしょうか?

答えは、2.25倍です。

なぜなら、預けた半年後に+50%で1.5倍になり、また半年後+50%されて1.5倍になります。

これを預けた金額を1として計算すると、

1×1.5×1.5=2.25

となるからです。

では、3か月ごとに25%ずつだったら?

この場合は

1×1.25×1.25×1.25×1.25≒2.44

つまり2.44倍になります。

金利が同じでも、金利が付く期間の間隔が少なく、金利が付く回数が多いほどお金が増えていくんです。

これが複利というものです。

これとネイピア数に何の関係が?

それが大ありなんです。

これって金利が1回の時は、

(1+1)=2

2回の時は、

(1+1/2)2=2.25

3回なら、

(1+1/3)3≒2.370

365回(1日毎)

(1+1/365)365≒2.714

とだんだん増えていきます。

だんだん増えてはいきますが、永遠に増え続けるわけではありません。

その頭打ちになる値こそがネイピア数なんです。

365回の時なんて結構ネイピア数の2.7182…に近いですね。

これを式にしたものが先ほどの

になるわけです。

つまり、ネイピア数は複利の計算に役立つということです。

1/319を319回転させたら何%で当たるの?

すいません。ついいついこんな書き方になってしまいました。

1/100で当たるくじを100回引くでもいいです。

なぜ319なのか、特に意味はありません…

 

と、余談はさておき、1/100で当たるくじを100回引いたらどうなると思いますか?

今回は引いたくじを箱に戻すとします。

もし戻さなければ、100回引いて当たる確率は100%です。

では、戻す場合だと何%くらいになると思いますか?

正解は、大体63%くらいです。

これは計算してみると分かります。

当たりを引く確率は以下のように求まります。

  1. 決められた回数(今回は100回)くじを引いても当たらない確率(余事象)を求める
  2. その確率を1から引く(ここでの引くは-(マイナス)のことです)

今回の場合は、100回引いても当たらない確率をまず求めます。

1/100で当たるので、99/100で当たりません。

100回連続で当たらないので、99/100が100回連続で起きるということになります。

式にすると、

(99/100)100≒0.3660

となります。

これを1から引くと

1-0.3660=0.6340

となりますので、63%くらいで当たることになります。

ちなみに319の場合も、63%くらいです。

当たる確率とくじを引く回数を多くしていくと、先ほどのネイピア数の逆数

がでてきます。この値は0.36787944…と続いていきます。

なので、だいたいのくじは当たる確率の分母分引いた場合63%くらいで当たります。

319回転回したって当たらないです。知ってた。

これを使って宝くじを考えてみます。

年末ジャンボの1等が当たる確率が1/4600万らしいです。

 

えぐ…

 

宝くじを4600万枚買うとすると金額にして、13億8000万円になります。

これだけ買えば大体63%くらいで1等の7億円が当たります。

(※これは1等が当たる確率のことだけを考慮しています。)

14億円くらい使っても1等は63%、しかも7億円。

 

ちゅらいな、サム…

まとめ

今回はネイピア数がどんな使われ方をしているのかを書いてきました。

ですが使わない人は全く関係ないかもしれませんね。

でも、くじとかの知識なんかは知っておいてもいい気がします。

あと宝くじについてはいろいろ書きましたが、僕は宝くじ肯定派です。

数百円が7億になる可能性があると考えたら夢はあると思っています。

319に関しては、特に発言の意図はありません。

63%なわけねえだろ

とも思ってません。

本当です。今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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