【面白い数学の問題】「2⁵⁶と5²⁴はどちらが大きい？」　難しそうですが高校入試です

今回は高校入試、つまり中学生が解く問題を紹介します。

見た目は難しそうな問題なんですが、やり方が思いつけばかなり簡単に解けると思います。

さっそく問題にいってみましょう！それでは

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問題

さっそく問題です。

2⁵⁶と5²⁴ではどちらが大きいでしょうか？

問題文は超シンプルですね。

この問題の解法はどんなものになるんでしょうか。

皆さんは思いつきますか？

使う考え方はたったの1つです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

2⁵⁶

それでは解説パートにいってみましょう。

解説1

この問題で使う考え方は、

〇²－□²＝(〇+□)(〇－□)

というものです。

例えば、

5²－3²＝25－9＝16
(5+3)(5－3)＝16

のように使えます。

これを使って問題を考えていきましょう。

の、前に1つ当たり前なことを言います。

4－2や6－5のように引き算で左の方が大きければ、必ず答えはプラス、つまり0より大きくなります。

4－2＝2＞0、6－5＝1＞0

この考えから、

2⁵⁶－5²⁴、または、5²⁴－2⁵⁶を計算して、計算結果が＞0になれば左が大きく、＜0になれば右の方が大きいことが証明できます。

ここでは5²⁴－2⁵⁶を考えてみたいと思います。

それでは計算していきましょう。

5²⁴－2⁵⁶＝(5¹²)²－(2²⁸)²

となります。

ここで、5²⁴＝(5¹²)²となっています。

ここも少し解説します。

2⁶などはどのような計算を簡略化しているのでしょうか？

これは、2を6回かける操作になります。

2×2×2×2×2×2＝2⁶

では、(2³)²はどのような計算になるでしょう。

これも1つ1つ考えればわかります。

まず()の中は(2×2×2)になります。これを2回かけるわけです。

(2×2×2)×(2×2×2)＝2⁶

つまり、

2⁶＝(2^3×2)＝(2³)²

となります。

この考えから、5²⁴＝(5¹²)²となっています。

5²⁴－2⁵⁶＝(5¹²)²－(2²⁸)²＝(5¹²+2²⁸)(5¹²－2²⁸)

となります。

ここで、5¹²、2²⁸はどう考えてもプラスですよね。

これは、プラスのものを何回かけてもマイナスになることはないからです。

つまり、5¹²－2²⁸が＜0か＞0なのかを調べれば良いことになります。

もうお気付きですね。

あとはこの操作を繰り返せばいいだけです。

5¹²－2²⁸＝(5⁶)²－(2¹⁴)²＝(5⁶+2¹⁴)(5⁶－2¹⁴)

5⁶－2¹⁴＝(5³+2⁷)(5³－2⁷)

ここまで来たらあとは計算しましょう。

5³＝125、2⁷＝128

よって、

5³－2⁷＝－3＜0

となります。

よって、

5⁶－2¹⁴＝(5³+2⁷)(5³－2⁷)＜0
5¹²－2²⁸＝(5⁶)²－(2¹⁴)²＝(5⁶+2¹⁴)(5⁶－2¹⁴)＜0
5²⁴－2⁵⁶＝(5¹²)²－(2²⁸)²＝(5¹²+2²⁸)(5¹²－2²⁸)＜0

となるので、右の方が大きいことが分かりました。

よって、2⁵⁶の方が大きいです。

解説2

解説の前に、まずは累乗とは何かを考えてみましょう。

累乗というのは、

2²

このように表されるもので、これは、

2×2

を表しています。

これが、

2⁵

なら、

2×2×2×2×2

を表します。

つまり、

○^□は、○が□個かけ算されているということです。

では、2⁵⁶はどうでしょうか？

これも同じく、2が56個かけ算されています。つまり、

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2

ですね。これをこのようにまとめましょう。

(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)

このように、2が7個かけ算されているものが8個あると考えます。

すると、

2⁵⁶＝(2⁷)⁸

と表せます。

では、5²⁴を考えてみると、

5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5

と表せます。これを、

(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)

のように、5³が8個あると考えます。

すると、

5²⁴＝(5³)⁸

と表せます。

こうすると、(2⁷)⁸と(5³)⁸はかけ算する数が同じになります。

そして、2⁷＝128、5³＝125なので、128を8回かけている(2⁷)⁸の方が大きい、つまり2⁵⁶の方が大きいということになります。

まとめ

中学生の頃にやった2乗引く2乗の因数分解の公式を使う問題でした。

もう数字の右肩に大きい数字があっても怖がらずに済みそうです。

もっとえげつない問題は多数存在しますが…

と、今回は数字の大小比較の問題でした。

今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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