【面白い数学の問題】「2⁵⁶と5²⁴はどちらが大きい?」 難しそうですが高校入試です

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は高校入試、つまり中学生が解く問題を紹介します。

見た目は難しそうな問題なんですが、やり方が思いつけばかなり簡単に解けると思います。

さっそく問題にいってみましょう!それでは

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問題

さっそく問題です。

2⁵⁶と5²⁴ではどちらが大きいでしょうか?

問題文は超シンプルですね。

この問題の解法はどんなものになるんでしょうか。

皆さんは思いつきますか?

使う考え方はたったの1つです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

2⁵⁶

それでは解説パートにいってみましょう。

解説1

この問題で使う考え方は、

〇²-□²=(〇+□)(〇-□)

というものです。

例えば、

5²-3²=25-9=16
(5+3)(5-3)=16

のように使えます。

これを使って問題を考えていきましょう。

の、前に1つ当たり前なことを言います。

4-2や6-5のように引き算で左の方が大きければ、必ず答えはプラス、つまり0より大きくなります。

4-2=2>0、6-5=1>0

この考えから、

2⁵⁶-5²⁴、または、5²⁴-2⁵⁶を計算して、計算結果が>0になれば左が大きく、<0になれば右の方が大きいことが証明できます。

ここでは5²⁴-2⁵⁶を考えてみたいと思います。

それでは計算していきましょう。

5²⁴-2⁵⁶=(5¹²)²-(2²⁸)²

となります。

ここで、5²⁴=(5¹²)²となっています。

ここも少し解説します。

2⁶などはどのような計算を簡略化しているのでしょうか?

これは、2を6回かける操作になります。

2×2×2×2×2×2=2⁶

では、(2³)²はどのような計算になるでしょう。

これも1つ1つ考えればわかります。

まず()の中は(2×2×2)になります。これを2回かけるわけです。

(2×2×2)×(2×2×2)=2⁶

つまり、

2⁶=(23×2)=(2³)²

となります。

この考えから、5²⁴=(5¹²)²となっています。

5²⁴-2⁵⁶=(5¹²)²-(2²⁸)²=(5¹²+2²⁸)(5¹²-2²⁸)

となります。

ここで、5¹²、2²⁸はどう考えてもプラスですよね。

これは、プラスのものを何回かけてもマイナスになることはないからです。

つまり、5¹²-2²⁸が<0か>0なのかを調べれば良いことになります。

もうお気付きですね。

あとはこの操作を繰り返せばいいだけです。

5¹²-2²⁸=(5⁶)²-(2¹⁴)²=(5⁶+2¹⁴)(5⁶-2¹⁴)

5⁶-2¹⁴=(5³+2⁷)(5³-2⁷)

ここまで来たらあとは計算しましょう。

5³=125、2⁷=128

よって、

5³-2⁷=-3<0

となります。

よって、

5⁶-2¹⁴=(5³+2⁷)(5³-2⁷)<0
5¹²-2²⁸=(5⁶)²-(2¹⁴)²=(5⁶+2¹⁴)(5⁶-2¹⁴)<0
5²⁴-2⁵⁶=(5¹²)²-(2²⁸)²=(5¹²+2²⁸)(5¹²-2²⁸)<0

となるので、右の方が大きいことが分かりました。

よって、2⁵⁶の方が大きいです。

解説2

解説の前に、まずは累乗とは何かを考えてみましょう。

累乗というのは、

このように表されるもので、これは、

2×2

を表しています。

これが、

2⁵

なら、

2×2×2×2×2

を表します。

つまり、

は、○が□個かけ算されているということです。

では、2⁵⁶はどうでしょうか?

これも同じく、2が56個かけ算されています。つまり、

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2

ですね。これをこのようにまとめましょう。

(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2×2)

このように、2が7個かけ算されているものが8個あると考えます。

すると、

2⁵⁶=(2⁷)⁸

と表せます。

では、5²⁴を考えてみると、

5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5

と表せます。これを、

(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)×(5×5×5)

のように、5³が8個あると考えます。

すると、

5²⁴=(5³)⁸

と表せます。

こうすると、(2⁷)⁸と(5³)⁸はかけ算する数が同じになります。

そして、2⁷=128、5³=125なので、128を8回かけている(2⁷)⁸の方が大きい、つまり2⁵⁶の方が大きいということになります。

まとめ

中学生の頃にやった2乗引く2乗の因数分解の公式を使う問題でした。

もう数字の右肩に大きい数字があっても怖がらずに済みそうです。

もっとえげつない問題は多数存在しますが…

と、今回は数字の大小比較の問題でした。

今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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