【面白い数学の問題】「半円の中の2つの正方形」 証明までが解答です。

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は単純に見えて意外と難しい問題になります。

答えの証明まで解説しますのでぜひ最後までご覧ください。

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

問題

直径が10の半円の中に正方形が2つあります。

ここで問題です。

この2つの正方形の面積の合計を求めてください。

 

この問題なんとなくの答えは分かるかもしれません。

しかし証明までしようと思うとなかなかに難しいかと思います。

答えを合っていた方はその理由まで考えてみてください。

今回もヒントありです。

 

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。 

 

 

 

 

 

ヒント1

答えの予想

このような問題では答えを予想することができます。

なぜなら、正方形の1辺の長さが決まっていないからです。

なら、自分で1辺の長さを適当に決めて考えても良いことが多いです。

今回の場合は…

 

 

 

 

 

ヒント2

1辺が同じ長さの正方形を考える

ヒント1から1辺の長さを決められるなら、1番簡単な正方形を考えてみると良いです。

それが1辺の長さが同じ正方形です。

図にすると下図のようになります。

これなら面積が求めやすくなります。

 

 

 

 

 

ラストヒント

正方形の重なる所が半円の中心になる

下図の点が半円の中心にあります。

赤線は半円の半径なので10の半分で5です。

ここから正方形の面積が求まるかと思います。

今回のヒントは答えに繋がるものだけにしました。

ヒントはここまでです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

25

 

よく分かる解説

ラストヒントから正方形の面積を求めます。

正方形の面積は、

(対角線)²÷2

で求めることができます。

その説明はこちらでしております。

今回対角線の長さは5なので正方形2つの面積は、

5²÷2×2=25

となります。

この問題は最終的に半径×半径が答えになるんですが、それを証明をしていきましょう。

解説(証明)

図のように左と右の正方形の1辺の長さをa、bとします。

そして、下図のように長さがbの赤線とaの青線を考えます。

子の赤線と青線で下図のような三角形を考えてみます。

すると、青線の長さはa、赤線の長さはbなので、紫線の長さをcとすると三平方の定理から、

c²=a²+b²

となります。

ここで、紫線長さはどちらも同じなので、紫線は半円の半径になります。

つまり、cは半円の半径です。

今回の問題ではc=5です。

これを先ほどの式に代入すると、

5²=25=a²+b²

となります。

ここで、a²とb²は正方形の面積です。

よって、半径の2乗が正方形2つの面積であることが証明できます。

まとめ

気付いたら証明が終わっていた、そんな感じではなかったでしょうか。

この、いろんな条件を考えていったらいつの間にか証明ができているというのは数学ではよくあると思います。

これが気持ちいいんですよねぇ。

やめられんです。

まだ試しては無いですが、この問題は小学生の知識だけでも解けるような気もします。

機会があればそちらも書いてみようかな。

と、今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

関連記事

【面白い数学の問題】x³+y³+z³=42の解がにわかに信じがたいので検算してみた

【面白い数学の問題】「ラングレーの問題」 難問注意!だが面白い!

【面白い数学の問題】「センサー式ハンドソープ」 何回出せばきれいになる?

コメント

タイトルとURLをコピーしました