【面白い数学の問題】「破れたページは何ページ目?」 数学って楽しいんだ

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は僕が見てきた問題の中でもトップクラスに問題文が少ないです。

これで解けるの?って感じです。

さっそく問題を見ていきましょう。それでは

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

問題

1枚だけページが破れた本があります。

破れていないページ番号を合計すると15000になります。

ここで問題です。

破れたページは何ページ目でしょうか?

 

え?これだけ?

出題ミス?

いえいえこれで全部です。

圧倒的問題文の短さじゃないですか?

こんなもの本当に解けるのかって感じですよ。

でもこれ解けるんです。

かなり数学を使いますが、頑張ってついてきてください。

答えは何ページになるんでしょうか。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

25ページ目と26ページ目

 

さあどうやって解いたのでしょうか。

解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

解説①

本のページの合計

はい、やってきました。数学のお時間です。

今回使うのは数学の「総和」というΣを使って足していくみたいなやつです。

皆さんも習っているはずなので「懐かしい」と思うはず。多分。

とはいっても完璧に覚えている人は少ないでしょう。

なのでまずは総和のおさらいからいってみましょう。

今回使うのは、1~Nまで足していった場合の総和の公式です。

このように1~Nまでの数字を足した式が表せます。

これをページ数の合計を求めるときに使います。

この問題ではこの本が何ページあるのか分かっていません。

なので、この本の最終ページ数をNとします。

また、破れたページをx、x-1ページとします。

分からないものはどんどん文字にしちゃいましょう。

ここで、本のページ数を足した数すなわち総和は公式を使って、

と表せます。

また、破れていないページ番号を合計すると15000になることから、本のページ数の総和から破れたページであるx、x-1を引くと15000になります。

破れていないページ数の合計=(もともとのページ数の合計)-(破れたページ)

数学では文字が2種類ある場合式が1本では解けません。

文字の種類分は式が欲しいですが、この状況ではもう1本式を立てるのは無理そうです。

ではどうするかというと、この条件から解いていくしかありません。

まず破れたページxがN、つまり最後のページが破れていた場合を考えてみましょう。

解説①-1

x=Nの場合

となり、これを満たすNは存在しません。

よってx≠Nとなります。

解説②

Nを求める

解説①で、xは(1≦x<N)ということが分かりました。

また、

を変形していくと、

となります。

(1≦x<N)より、

2≦2x<2N

2+14999≦2x+14999<2N+14999

15001≦2x+14999<2N+14999

となるので、

を代入して、

のように連立させることができました。

あとはこれを満たすNを求めていきましょう。

①式から、

N≧173

②式から、

N≦174

よって、

173≦N≦174

となり、

N=173、174

と求まりました。

あとは代入するだけです。

解説②-1

N=173の場合

この式にN=173を代入して計算すると、

x=26

よって破れたページはxとx-1だったので、

25ページと26ページ

と求まります。

解説②-2

N=174の場合

これまた

に代入して解くと、

x=113

よって破れたページはxとx-1だったので、

112ページと113ページ

と求まります。

解説③

答えは1つ

この問題の答えは23と24ページのみになります。

本は普通右から1ページ目で始まりますよね。

なので、

  • 1枚だけページが破れた本があります。

という条件から、小さい数字のページが奇数である必要があります。

よって、答えは25ページ目と26ページ目の1つに定まります。

代入して解いてみよう

実はこの問題は不等式が思いつかなくても解けるようになっています。

その方法が代入していくという方法です。

ただ、このやり方では時間がかかる可能性もあるので、不等式が思いつけた場合は迷わずそちらで解きましょう。

では代入していく解法を説明します。

これは単純に数字を代入してふさわしいのを見つけようという考え方です。

かなり泥臭いやり方ですが、これはこれでよい方法だとも思います。

代入法①

解き方は、

のNにいろいろ数字を代入してxを求めるという方法です。

例えば、N=100の場合を考えてみましょう。

N=100の場合

右の式は、

(1/2)×100×101
=50×101
=5050

となります。

よって式は以下のようになります。

2x+14999=5050
2x=5050-14999
2x=-9949
x=-4974.5

ここで、xはページ数なので負の数(マイナス)になることはあり得ません。

また、ページ数が小数になることもあり得ません。

なので、N=100は答えではないということになります。

次に、N=200の場合を考えてみましょう。

N=200の場合

右の式は、

(1/2)×200×201
=100×201
=20100

となります。

よって式は以下のようになります。

2x+14999=20100
2x=20100-14999
2x=5101
x=2550.5

ここで、xは最後のページ数N(今回は200)より小さくなくてはなりません。

また、ページ数が小数になることもあり得ません。

よって、N=200は答えではないということになります。

さらにここから分かることは、Nは100よりは大きく、200よりは小さいということです。

この範囲でNに数字を代入し、xを求め、そのxの値がNよりも小さいという条件を満たせば答えが分かります。

ここからは作業ですが、少し考えやすくすることはできます。

代入法②

まず、14999を引くので、Nに数字を代入した時の値は奇数になる必要があります。

2x=(1/2)N(N+1)-14999

※(1/2)N(N+1)-14999が偶数でないと2で割り切れない
(1/2)N(N+1)がでないと14999を引いたときに偶数にならない

偶数の場合はN=100か200の場合を見ればわかりますが、xが小数になってしまいます。

N=200の場合

(1/2)N(N+1)=20100
20100-14999=5101 ←奇数

なので、(1/2)N(N+1)は奇数にします。

また、Nは101~199にある(100と200はだめだった)のでN=1??という値になります。

ここで、?が奇数なら?は0or4or8 & 3or7に、?が偶数なら?は2or6 & 1or5にすれば良いです。

試しにやってみるのも面白いですよ。

これは筆算を考えてみれば理解できると思います。

左が?が奇数の場合で、右が?が偶数の場合です。

これを見ると、左の場合、1?を2で割った答えが奇数になるには0or4or8しかないというのが分かると思います。

右の場合も同じです。

?を2で割った答えが奇数になるには2or6しかありません。

これは11?や10?の時だけではなく、中の数字が奇数か偶数かで分かれています。

これで確かめる数字はかなり少なく済みます。

また、114が2で割った時に偶数になるということは、N+1が114になっても良いのでN=113も答えの可能性があります。

N=113の場合

(1/2)×113×114
=113×57
=6441 ←奇数

&で区切っているのはそういう理由です。

では試していきましょう。

と、試し方も一工夫しましょう。

11?の場合、中が奇数なので?には0,4,8,7,3のどれかが入りますがすべてを試す必要はありません。

一番大きいものだけを試せば良いです。

今回なら118ですね、

これを試してみると、

(1/2)×118×119
=59×119
=7021

となり、これから14999を引くとマイナスになります。

よって、Nは118よりは大きいことになり、それ以下の110や114などを試さなくて済むのです。

そして、N=178の時に、

(1/2)×178×179
=15931

となり、14999より大きくなります。

これをさらに考えると、

15931-14999=932

2x=932
x=466

となるので、178より大きくなります。

よって、178では大きすぎることが分かります。

つまり、

170、173、174、177のどれかが答えになります。

代入法③

そしてN=173の時に1つ目の答えが登場します。

N=173の場合

(1/2)×173×174
=173×87
=15051

2x=15051-14999
2x=52
x=26

26は最後のページ数173よりも小さいので、破れたページがちゃんと途中にきてくれています。

よって、N=173は式を満たします。

N=174の場合

(1/2)×174×175
=87×175
=15225

2x=15225-14999
2x=226
x=113

これも満たしています。

N=177の場合
(代入法②を参考に17?は4の次は7にする)

(1/2)×177×178
=177×89
=15753

2x=15753-14999
2x=754
x=377

377は177よりも大きいので答えになりません。

これで

N=173、174

が求まります。

ここからのxを求める流れは同じです。

まとめ

お疲れ様でした。

こんな短い問題文から解けてしまう数学って面白いです。

また、今回の問題はページをどこから数えるかを明記しておかないとだめだと思うんですが。

普通本は1ページが右側にあるとしても、問題で明記されてないなら、答えは2つだと思うんですがどうなんでしょう。

最後に数学ではなく一般常識をちりばめられても...

まあ、そのあたりは数学オリンピックの出題者に託すしかなさそうです。

と、さすが数学オリンピックということで難問でしたが今回は以上になります。

お疲れ様でした。それでは

ザ・エンドってね

 

代入して解く方法はユーチューブの動画を作りながら思いついたので書くしかない!と思い急ピッチで仕上げました。

ユーチューブもぜひご覧ください!

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