【面白い数学の問題】「正方形と正三角形の面積」 小学生までの知識でチャレンジしてみよう!

面白い数学の問題

今回は中学で習う範囲ならある程度簡単に解ける問題ですが、小学生までの知識で解くとなかなかに難しい問題を紹介します。

どちらのやり方も解説しますので、2通りの考えでどう解くのか考えてみてください!

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題

上の図のように正方形の両端に正三角形が付いた図形があります。

ここで問題です。

この図形の面積を求めてください。

 

この問題を小学生の知識のみで解けた方は素晴らしいです。

この問題は知識を制限することで難問になっています。

さあ、どうやって解いていきましょう。

今回は小学生の範囲での解き方のヒントがあるので参考にしてみてください。
最近ヒントの存在を忘れていました…てへ

 

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。 

 

 

 

 

 

ヒント1

このように上下に正三角形を付け加えてみてください。

 

 

 

 

 

ヒント2

図のように正三角形の頂点から底辺に垂線を引いてみてください。

垂線とは辺に対して90°に引いた線です

 

 

 

 

 

ラストヒント

図のような青線を考えてみましょう。

この青線と同じ長さのものを探してみてください。

また、青線と赤線で囲まれた正方形について考えてみましょう。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

25㎠

 

よく分かる解説

解説1

中学生で習う範囲で解く

 

正三角形では辺の比が下の図のように表せます。

ここで正方形の1辺をx㎝とすると、

この図の赤線の長さは比で求めることができます。

1:2:√3の2の場所がxなので赤線の長さは、

2:√3=x:赤線
赤線=√3x
赤線=(√3/2)x

となります。

よって、

(√3/2)x+x+(√3/2)x
=√3x+x
=x(√3+1)=10
x=10/(√3+1)
x=10(√3-1)/2 (有理化)
x=5(√3-1)

とxが求まります。

この先でx²を計算するので先に計算結果を求めておきます。

x²=5²(√3-1)²=25(3-2√3+1)=25(4-2√3)=100-50√3

これを使って面積を求めると正三角形の面積は底辺がx、高さが√3/2xでありこの正三角形が2つあるので、

√3/2x²×1/2×2
=√3/2(100-50√3)
=50√3-75

となり、正方形の面積は、

x²
=100-50√3

となります。

この2つを足すと答えになります。

50√3-75+100-50√3
=25

となり面積が25㎠と求まります。

解説2

小学生で習う範囲で解く

下図のように正三角形を正方形の上下にも付け加えます。

そしてこの図の正三角形の頂点から底辺に垂線を引きます。

垂線とは90°になるような線であり、正三角形の場合底辺に垂線を引くと底辺を半分に分けるという性質があります。

また、正方形の1辺の長さと正三角形の1辺の長さは同じなので、下図の青線の長さは同じになります。

そして下図の緑線赤線の長さも同じになります。

また下図から、

青線+赤線青線+緑線

であり、青線+緑線は10㎝の半分なので5㎝であることが分かります。

ということが分かります。

ここで、正三角形の垂線は面積を半分に分けるという性質も使います。

下図の赤色部分青色部分の面積は同じになります。

これを使うと下図の①~⑤の面積は、正三角形の面積の半分が4つと正方形の面積1つ分の面積になります。

正三角形の面積半分が4つということは正三角形の面積が2つ分であるということです。

そしてもともと求めたかった面積も正三角形2つと正方形1つ分の面積でした。

もともとの問題↓

よって、求めたい面積は赤線と青線で囲まれた正方形の面積を求めれば答えが分かります。

この面積は赤線+青線=5㎝であることが分かっているので、

5×5=25

と25㎠であることが求められました。

まとめ

いかがでしたか?

小学生までの範囲で解くのはかなり難しかったと思います。

発想力が試される問題でした。

三平方の定理での解き方も覚えていないと少し難しかったと思います。

今回はこれだけの情報で面積が分かるというところに魅力を感じていただければと思います。

解けるか解けないかよりも数学の凄さをお伝えしていけたらなと思います。

と、今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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