【面白い数学の問題】「シンプルイズ難問」 超絶シンプルな問題なのに...

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回はsンプルな図形問題を1つ。

シンプルで考えがいのある問題なので皆さんもぜひ挑戦してみてください!

今回は解放を2つご紹介します。

図形の問題はいろいろなやり方があるのが面白いところですから。

それではさっそく問題にいってみましょう!

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

問題

ここでさっそく問題です。

角度xを求めてください。

おっと。問題がシンプルですね。

過去最短の問題がきました。

数学ではできるだけ長い問題分の方が解きやすい傾向にあるので難問の予感です。

どのように解いていきましょうか?

今回はヒントありなので参考にしてみてください。

 

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。

 

 

 

 

 

ヒント1

補助線を引く

こちらは解法①のヒントになります。

下図のように補助線を引きます。

点Eは、

AB=BE=EC=CA

となるような点です。

すると、四角形ABECはひし形になります。

ひし形では対になっている角度が等しいので...

 

 

 

 

 

ヒント2

二等辺三角形を作る

ここからは解法②のヒントになります。

下図のように補助線を引いて二等辺三角形を作ります。

AとDを結ぶことで、AC=CDの二等辺三角形ACDができます。

二等辺三角形ということは、

∠CAD=∠CDA

になります。

 

 

 

 

 

ヒント3

補助線を引く

下図のように補助線を引きます。

点Eは、

AE=EC=CA

となる点です。

すると、三角形AECは正三角形になります。

 

ヒントはここまでになります。

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

10°

皆さんはどこまで解けましたか?

全て解けた方もそうでない方も2通りの解説をご用意しましたので、ここからの解説をご覧ください。

よく分かる解説

解法①

解法①-1

ひし形を作る

図に上図のような補助線を引きます。

すると、四角形ABECはひし形になるので、

∠BAC=∠BEC
∠ABE=∠ACE

となります。

ここで、∠BAC=100°なので、∠BEC=100°となります。

また、四角形の内角(四角形の中にある角度を足したもの)は360°なので、

100°+100°+∠ABE+∠ACE=360°
∠ABE+∠ACE=160°

ここで、∠ABE=∠ACEなので、

∠ABE=∠ACE=80°

となります。

また、

∠DCE=∠ACE-20°
∠DCE=80°-20°
∠DCE=60°

となります。

ここまでを図に書き入れてみます。

ここまでで分かっていること

ここで最後の補助線を引くのですがどこに引けばよいか分かりますか?

少し考えてみましょう。

 

・・・・・・・・・・・・・・シンキングタイム!・・・・・・・・・・・・・・

 

 

 

 

 

 

答えは決まりましたか?

では正解です。

答えは

DとEを結ぶ線

でした。

解法①-2

正三角形を作る

すると、△DECは二等辺三角形だということが分かります。

よって、

∠CDE=∠CED

となります。

また、∠DCEが60°なので、

∠CDE=∠DCE=60°

になります。

つまり、△DECは正三角形だということが分かります。

ここまでで分かっていること

 

クライマックス

仕上げ

ここで、

BE=DE

となるので、△BEDが二等辺三角形になります。

よって、

∠EBD=∠EDB=70°

となります。

また、最初に引いた補助線によって四角形ABECはひし形なので、

∠ACE=∠ABE

でした。

よって、

∠x=80°-∠EBD
∠x=80°-70°

より、

∠x=10°

と求まります。

解法②

解法②-1

二等辺三角形を作る

補助線によって、△ACDが二等辺三角形になります。

また、三角形の内角は180°なので、

∠CAD+∠ACD+20°=180°
∠CAD+∠ACD=160°

となり、△ACDは二等辺三角形なので、

∠CAD=∠ACD

より、

∠CAD=∠ACD=80°

となります。

ここまでで分かっていること

 

解法②-2

正三角形を作る

図のように

AC=AE=EC

となるように補助線を引きます。

すると、△AECは正三角形なので、

∠AEC=∠ECA=∠CAE=60°

となります。

 

ここで最後の補助線を引くのですがどこに引けばよいか分かりますか?

少し考えてみましょう。

 

・・・・・・・・・・・・・・シンキングタイム!・・・・・・・・・・・・・・

 

 

 

 

 

 

答えは決まりましたか?

では正解です。

答えはDEを結ぶ線です。

すると、

CD=CE

より、△EDCが二等辺三角形であることが分かります。

よって、

∠CED=∠CDE=70°

となります。

また、△AECは正三角形なので、

∠AEC=60°より、

∠DEA=10°

となります。

ここまでで分かっていること

解法②-3

合同な図形

ここで、△ABDと△AEDに注目してみます。

△ABDと△AEDについて、

AB=AE・・・①

∠BAD=∠EAD・・・②

また、共通な辺であるADの長さ同じなので、

AD=AD・・・③

①、②、③より、

2辺とその間の角がそれぞれ等しので、

△ABD≡△AED

合同な図形では、対応する角度の大きさが等しいので、

∠x=∠DEA=10°

よって、

∠x=10°

と求まります。

まとめ

お疲れ様でした。

皆様はどちらのやり方がお好みでしょうか?

僕は1つ目がやりやすいかなと思っています。

2つ目の解法は図がごちゃごちゃしているので見にくいですし。

ただ、いろいろな解法で解けることはとても大事なことだと思っています。

他にもやり方あるよ!という方は教えてください!

今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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