【面白い数学の問題】「秘密結社からの挑戦状?」 信じるか信じないかはあなた次第

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は秘密結社が中学入試に潜り込んでいたので取り上げました。

これは中学生を秘密結社に取り込む目的があったに違いありません。(しんあな)

さっそく問題にいってみましょう。それでは

レッツゴー

問題

 

上図の△ABCは正三角形です。

この△ABCの各頂点を通る点Oを中心とした円を描きます。

また、△ABCの各辺AB、BC、CAの中点をそれぞれ点D、E、Fとして、△DEFの各点の中点をG、H、Iとします。

点Oを中心として、点G、H、Iを通る円を図のように描きます。

この円の面積は9πになりました。

ここで問題です。

赤色部分の面積を求めてください。

 

さて、秘密結社の謎は解けますでしょうか?

これが解けたらもう後には引き返せませんよ…

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

135π-81√3

 

解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

解説1

小さい円の半径

 

まずは小さい方の円の面積から半径を求めます。

これは簡単に求まります。

円の面積は、半径×半径×πです。

また、小さい方の円の面積は9πなので、

半径×半径×π=9π
半径=3

となります。

解説2

ODの長さ

 

上図のような線を引くと∠ODG=30°となります。

これは、△DEFが正三角形で∠EDG=60°であり、三角形に内接する円の中心から三角形の頂点に線を引くと角の二等分線になるという性質を利用します。

図にするとこういうことです。

今回は正三角形なので各頂点が全て60°になるので角の二等分線で30°になります。

次に、直角三角形の特別な形を思い出していきましょう。

上図のように90°、60°、30°の三角形は1:2:√3というものです。

 

上図のGOは円の半径なので3であり、これが1:2:√3の1の部分になっています。

よって、

GO=3(小さい円の半径)
OD=6
DG=3√3
DF=6√3

となります。

解説3

△ADFの面積

 

図のように△AODを考えると∠OAD=30°となります。

よってここでも1:2:√3を使うと、

OD=6
OA=12(大きい円の半径)
AD=6√3

となります。

DF=6√3、AG=AO-GO=12-3=9より、

△ADF=6√3×9÷2=27√3

となります。

 

上図の△ADF、△DBE、△FECは全て合同な三角形であり面積が同じになります。

解説4

答え

 

大きい円の半径はAO=12より面積は12×12×π=144π、白の正三角形3つ分の面積は27√3×3=81√3、小さい円の面積は9πなので求める面積は、

144π-9π-81√3=135π-81√3

と求まります。

解説5

別解

 

DF=BE=6√3です。

また、△ABEも90°、60°、30°の三角形なので、AE=18です。

また、BC=12√3となります。

△ABCの面積は、

△=12√3×18÷2=108√3

です。

最後に赤色部分の面積は、大きい円の面積-△ABC+△DEF-小さい円の面積より、

144π-108√3+27√3-9π=135π-81√3

と求まります。

まとめ

ここまで読んでしまったからにはもう秘密結社から逃れられません。

諦めてください。

それでは今日はここまでです。それでは

ザ・エンドってね

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