【面白い数学の問題】算数オリンピックからの挑戦! 正十二角形の謎を解く

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は問題のビジュアルも面白くて解きごたえのある問題を持ってきました!

算数オリンピックで出された問題ですが、挑戦してみましょう。

難しいですが解き方が分かるととても気持ちいいですよ。

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

問題

上図は1辺が1㎝の正十二角形であり、白い部分は正三角形12個です。

ここで問題です。

緑色部分の面積を求めてください。

 

 

 

なんじゃこれ!

もっと情報プリーズですよ。

難しい問題の情報量の無さよ.。

でもそれがかえってもえる要因なんですが笑

まあ頑張って解くしかなさそうです。

ヒントはありです。

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。

 

 

 

 

 

ヒント1

正十二角形の内角

正十二角形の内角は公式から、

180×(12-2)=1800

より、1800°です。

 

 

 

 

 

ヒント2

正三角形の1つの角度

三角形の内角が180°なので、正三角形の1つの角度は60°です。

 

 

 

 

 

ヒント3

正十二角形の1つの角度

正十二角形の内角が1800°なので、正十二角形の1つの角度は150°です。

 

 

 

 

 

ラストヒント

補助線を引く

図形問題の常套テクニック補助線はやっぱり大事です。

今回は下図のように引くと良いです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

6㎝²

以外とすっきりな答えが出ます。

どうやって解くのか、解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

解説①

90°を見つける

考えやすいようにした図のように考えます。

上図は正十二角形なので、

∠ACE=150°

です。また、△CDEは正三角形なので、

∠ECD=60°

です。ここで、∠ACDは

∠ACD=∠ACE-∠ECD
∠ACD=150-60=90°

となります。

解説②

同じ面積になるものがある

次は補助線を引いた図を使います。

ACFDのような正方形ができるように線を引くと1辺が1㎝の正六角形ができます。

その正六角形の対角線を引いたものが上図になります。

正六角形の中には1辺が1㎝の正三角形が6つ入っています。

つまり、△ABCと△FODは同じ面積になります。

解説③

同じ面積のものを移動させる(等積移動)

下図のように面性が同じなので、三角形を移動させることができます。(等積移動)

これを真ん中の正六角形の中三角形を全部移動させると下図のようになります。

緑色の部分は1辺が1㎝の正方形が6つなので、

1×1×6=6

となり、答えが6㎝²と求まりました。

まとめ

お疲れ様でした。

なかなか手ごわかったです。

ですが気付くことができれば解けるし、知識がめちゃめちゃ要るわけでもないというのがこういう問題の素晴らしいところですね。

もっと算数オリンピックの問題あさってみようかな。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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