今回は数学の問題になります。
クイズとかではなくごりごりの数学の問題になります。
ですが、問題も答えも気楽に見ていってください。
あーと思っていただければ大丈夫です。
中学3年の参考書から引っぱってきたので、中学生の方は参考にしてみてください。
さっそく問題にいってみましょう。それでは！
レッツゴー
問題
上図のように、放物線ｙ＝ｍx²(ｍ＞0、x≧0)の放物線上に、4点
- A(1，a)
- B(2，b)
- C(c，d)
- Ｄ(0，4)
があります。
△ＡＢＤの面積は△ＯＡＤの面積の2倍、△ＢＣＤの面積は△ＯＡＤの面積の5倍です。
ここで問題です。
(1) ｍの値を求めてください。
(2) 点Ｃのｘ座標ｃを求めてください。
久々に数学っぽい問題ですね。
数学っぽいというかもろ数学ですか。
ヒントはありますので参考にしてみてください。
自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。
ヒント1
平行な直線の傾きは同じ
一次関数ｙ＝ax+bのaの値を傾きと呼ぶのですが、平行な直線ではこの傾きが同じになります。
上図で2本の直線が平行なら傾きaの値は等しくなる。
また、傾きはaは、
a＝ｙの増加量/ｘの増加量
という式で求めることができる。
ヒント2
平行線で底辺が同じなら面積は同じ
何を言っているのかといいますと、下図で△ＡＢＣの面積と△ＤＢＣの面積は同じだということです。
これは底辺の長さが同じなら、平行線上の点がどこに動こうが高さが等しいためです。
またこれを使うと、
底辺が同じで頂点が同じ直線上にあり面積が同じなら、二つの直線は平行である
ということが言えます。
今回はこちらを使います。
難しいと思ったらこの図をとりあえずは覚えておきましょう。
ラストヒント
必要な補助線
この問題には補助線が必要ですが、特別にそれをお教えします！
それは下図のような線になります。
上図のようにＡＤ//ＢＥ、ＢＤ//ＣＦとなるような線を引きましょう。
これと先ほどの平行線での面積の考え方を組み合わせると…
と、ヒントはここまでです！
ここから先に答えがあります。
答え
(1) ｍ＝2
(2) ｃ＝(1+√29)/2
さっそく解説パートにいってみましょう。
よく分かる解説
(１)の答え
点ＡとＢはｙ＝ｍｘ²の放物線上にあるので、点ＡとＢのｘ座標1と2を代入して、
Ａ(1，ｍ)、Ｂ(2，4ｍ)
となります。
また、△ＯＡＤの面積は、底辺をＯＤ(4)とすると、高さが点Ａのｘ座標の値になります。
△ＯＡＤ＝4×1÷2＝2
となります。
よって、問題文から、△ＡＢＤの面積は△ＯＡＤの2倍なので、
△ＡＢＤ＝4
となります。
ここで、ｙ軸上に△ＡＤＥ＝4となるように点Ｅをとります。
すると、△ＡＤＥの面積は、
△ＡＤＥ＝ＤＥ×1(点Ａのｘ座標)÷2＝4
より、ＤＥ＝8となるので、点Ｅのｙ座標は12となります。
また、
△ＡＤＥ＝△ＡＤＢより、ＡＤ//ＢＥとなります。(ヒント2より)
ここでヒント1より、線分ＡＤとＢＥの傾きは等しいということになります。
また、傾きは、
ｙの増加量/ｘの増加量
で計算できます。
ＡＤでは、ｘの増加量とｙの増加量は
点Ａ(1，ｍ)→点Ｄ(0，4)までにｘがどれだけ増えて、ｙがどれだけ増えたかを考えればよいので、
線分ＡＤの傾きをa1とすると、
a1＝(4－ｍ)/(0－1)＝ｍ－4
同じように、線分ＢＥの傾きをa2とすると、
a2＝(4ｍ－12)/(2－0)＝2ｍ－6
ＡＤ//ＢＥより、a1=a2なので、
ｍ－4＝2ｍ－6
ｍ＝2
となり、ｍ＝2が求まります。
(2)の答え
(１)より、点Ｂ、Ｃの座標が
Ｂ(2，8)
Ｃ(ｃ、2ｃ²)
となります。
また、
問題文より、△ＢＣＤの面積は、△ＯＡＤの5倍なので、
△ＢＣＤ＝10
です。
ここでも(１)と同様に△ＢＤＦ＝10となるような点Ｆを考えると、
△ＢＤＦ＝ＤＦ×2(点Ｂのｘ座標)÷2＝10
より、ＤＦ＝10より、点Ｆは、
Ｆ(0，14)
となります。
ここでも、△BDF＝△BDFなので、ＢＤ//ＣＦより、傾きが同じになります。
(8－4)/(2－0)＝(2ｃ²－14)/(ｃ－0)
2ｃ＝2ｃ²－14
ｃ²－ｃ－7＝0
ここで解の公式より、
ｃ＝{1±√1²－4×1×(－7)}/2
ｃ＝(1±√29)/2
ここで、ｃ＞0より、
ｃ＝(1+√29)/2
となります。
まとめ
お疲れさまでした。
よう分らんってところは質問してください！
疲れたので今回はここまで。それでは
ザ・エンドってね
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