【面白い数学の問題】「二次関数」 たまには本格的な数学の問題を。

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は数学の問題になります。

クイズとかではなくごりごりの数学の問題になります。

ですが、問題も答えも気楽に見ていってください。

あーと思っていただければ大丈夫です。

中学3年の参考書から引っぱってきたので、中学生の方は参考にしてみてください。

さっそく問題にいってみましょう。それでは!

レッツゴー

問題

上図のように、放物線y=mx²(m>0、x≧0)の放物線上に、4点

  • A(1,a)
  • B(2,b)
  • C(c,d)
  • D(0,4)

があります。

△ABDの面積は△OADの面積の2倍、△BCDの面積は△OADの面積の5倍です。

ここで問題です。

(1) mの値を求めてください。

(2) 点Cのx座標cを求めてください。

久々に数学っぽい問題ですね。

数学っぽいというかもろ数学ですか。

ヒントはありますので参考にしてみてください。

 

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。

 

 

 

 

ヒント1

平行な直線の傾きは同じ

一次関数y=ax+bのaの値を傾きと呼ぶのですが、平行な直線ではこの傾きが同じになります。

上図で2本の直線が平行なら傾きaの値は等しくなる。

また、傾きはaは、

a=yの増加量/xの増加量

という式で求めることができる。

ヒント2

平行線で底辺が同じなら面積は同じ

何を言っているのかといいますと、下図で△ABCの面積と△DBCの面積は同じだということです。

これは底辺の長さが同じなら、平行線上の点がどこに動こうが高さが等しいためです。

またこれを使うと、

底辺が同じで頂点が同じ直線上にあり面積が同じなら、二つの直線は平行である

ということが言えます。

今回はこちらを使います。

難しいと思ったらこの図をとりあえずは覚えておきましょう。

ラストヒント

必要な補助線

この問題には補助線が必要ですが、特別にそれをお教えします!

それは下図のような線になります。

上図のようにAD//BE、BD//CFとなるような線を引きましょう。

これと先ほどの平行線での面積の考え方を組み合わせると…

と、ヒントはここまでです!

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

(1) m=2

(2) c=(1+√29)/2

さっそく解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

(1)の答え

点AとBはy=mx²の放物線上にあるので、点AとBのx座標1と2を代入して、

A(1,m)、B(2,4m)

となります。

また、△OADの面積は、底辺をOD(4)とすると、高さが点Aのx座標の値になります。

△OAD=4×1÷2=2

となります。

よって、問題文から、△ABDの面積は△OADの2倍なので

△ABD=4

となります。

ここで、y軸上に△ADE=4となるように点Eをとります。

すると、△ADEの面積は、

△ADE=DE×1(点Aのx座標)÷2=4

より、DE=8となるので、点Eのy座標は12となります。

また、

△ADE=△ADBより、AD//BEとなります。(ヒント2より)

ここでヒント1より、線分ADとBEの傾きは等しいということになります。

また、傾きは、

yの増加量/xの増加量

で計算できます。

ADでは、xの増加量とyの増加量は

点A(1,m)→点D(0,4)までにxがどれだけ増えて、yがどれだけ増えたかを考えればよいので、

線分ADの傾きをa1とすると、

a1=(4-m)/(0-1)=m-4

同じように、線分BEの傾きをa2とすると、

a2=(4m-12)/(2-0)=2m-6

AD//BEより、a1=a2なので、

m-4=2m-6
m=2

となり、m=2が求まります。

(2)の答え

(1)より、点B、Cの座標が

B(2,8)
C(c、2c²)

となります。

また、

問題文より、△BCDの面積は、△OADの5倍なので、

△BCD=10

です。

ここでも(1)と同様に△BDF=10となるような点Fを考えると、

△BDF=DF×2(点Bのx座標)÷2=10

より、DF=10より、点Fは、

F(0,14)

となります。

ここでも、△BDF=△BDFなので、BD//CFより、傾きが同じになります。

(8-4)/(2-0)=(2c²-14)/(c-0)
2c=2c²-14
c²-c-7=0

ここで解の公式より、

c={1±√1²-4×1×(-7)}/2
c=(1±√29)/2

ここで、c>0より、

c=(1+√29)/2

となります。

まとめ

お疲れさまでした。

よう分らんってところは質問してください!

疲れたので今回はここまで。それでは

ザ・エンドってね

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