【面白い数学の問題】「△OAB=...」 難しいより面白いを感じてほしい

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回も二次関数の問題を。

どうもわたくし...

 

 

 

二次関数にはまってしまったようなんです。

 

なので、二次関数続きですがどうかご勘弁を。

というわけで今回も少し難しめの問題を持ってきました。

今回は解答を2パターン解説します。

気付けば一瞬なんて噂もあるとかないとか...

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題

図のようなy=x²のグラフがあります。

点Aと点Bのx座標はそれぞれ-1、2です。

ここで問題です。

△OABと面積が同じになるような△ABP、△ABQ、△ABRとなるような点P、Q、Rのx座標p、q、rを求めてください。

但し、点p、q、rのx座標の取りうる範囲は、

  • p<-1
  • -1<q<2
  • r>2

とし、点P、Q、Rはすべて、y=x²のグラフ上にあるとします。

あ、絶対面白い!

って思っちゃいました。

解けた後の気持ちよさを一緒に体感しましょう!

この問題は、

【お勉強】「二次関数の問題で使える裏技」 一次関数の式が一瞬で求まる!?・・・①

【面白い数学の問題】「二次関数」 たまには本格的な数学の問題を。・・・②

こちらの記事を参考にしていただくと少しは楽に解けます。

①の一次関数の公式の出し方と、②のヒント2を参考にしてください。

あとは考え方次第です!

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

p=(1-√17)/2

q=1

r=(1+√17)/2

よく分かる解説

解答①

状況整理

まずは状況の整理から。

【お勉強】「二次関数の問題で使える裏技」 一次関数の式が一瞬で求まる!?

この記事から直線ABの式は簡単に求まります。式は、

y=(-1+2)x-1×(-1)×2
y=x+2

となります。

図にこの情報を書き加えておきます。

また、△OABの面積は、

△OAB=2×3÷2=3

となります。

さて、ここでp、q、rの範囲が何を言っているのかを考えてみましょう。

  • p<-1
  • -1<q<2
  • r>2

これのことです。

これは、上図で、点Pは赤線より左に、点Qは赤線と青線の間に、点Rは青線より右にあるということです。

さて、ここからp、q、rを求めていきましょう。

点Qを求める

まずは点Qから求めていきます。

【面白い数学の問題】「二次関数」 たまには本格的な数学の問題を。

のヒント2を見ていただくと、AB//OQの線を引けばよいことが分かるかと思います。

平行ということは傾きが同じだということです。

直線ABの傾きは1なので、直線のOQの傾きも1になります。

また、点Qのx座標がqなので、直線OQの傾きは、2点(0,0)、(q,q²)でのyの増加量/xの増加量を求めればよいので、

q²/q=q

となります。

よって、

q=1

と、qの値が求まります。

pを求める

まずは点Pから求めていこうと思います。

上図のように点Pを取り、直線PAとy軸との交点を点C、直線ABとy軸との交点を点D、直線BPとy軸との交点を点Eとします。

すると、△ABPの面積は、

△OAB=△ABP=△BCP-△ABC=3

となります。

ここで、点Eと点Cのy座標はそれぞれ、

  • 点E:-1×p×2=-2p
  • 点C:-1×p×(-1)=p

とります。

ここからよくある間違いを書いていくので何が間違いか探してみてください。

よくある間違い

△BCP=3p×(p+2)÷2=(3p²+6p)/2
△ACD=(p+2)×(1+2)÷2=(3p+6)/2

よって、

{(3p²+6p)/2}-{(3p+6)/2}=3
3p²+6p-(3p+6)=6
3p²+3p-12=0
p²+p-4=0

解の公式より、

p=(-1±√17)/2

p<-1より、

p=(-1-√17)/2

ここまで間違いがありました。気づけましたか?

ここでは、pの正負をしっかり考えてあげなくてはいけません。

今、pはp<-1なので負の値になっています。

それで何が変わるのか?

これは絶対値の値です。

pの絶対値は今、-pであることを忘れてはいけません。

また、CEの長さを3pとしていますがこれも間違いです。

正しくは-3pです。

これは長さを見るときはー2p-p=-3pとしなくてはいけないからです。

それでは正しい計算をしていきましょう。

△BCP=-3p×(-p+2)÷2=(3p²-6p)/2
△ACD=(-p+2)×(1+2)÷2=(-3p+6)/2

{(3p²-6p)/2}-{(-3p+6)/2}=3
3p²-6p-(-3p+6)=6
3p²-3p-12=0
p²-p-4=0

解の公式より、

p=(1±√17)/2

p<-1より、

p=(1-√17)/2

となります。

rを求める

これまた、AB//PRより、直線PRの傾きは1になります。

また、直線PRの傾きは

傾き=yの増加量/xの増加量

より、(点Pの座標(p,p²)、点Rの座標(r,r²))

(r²-p²)/(r-p)
={(r-p)(r+p)}/(r-p)
=r+p=1

より、

r=1-p

よって、

r=1-{(1-√17)/2}
r=(1+√17)/2

となり、これはrの範囲r>2の範囲にあるので、

r=(1+√17)/2

と求まりました。

解答②

考え

ここからの解答はすぐに終わります。

この問題、あることに気付きませんか?

この気付きがあればこの問題は一瞬で終わります。

注目してほしいのは直線ABとOQです。

この2本の直線はどんな関係があるでしょうか?

それは、AB//OQであること。

そしてもう一つ、この直線の切片に注目してみましょう。

直線OQの切片は0で、直線ABの切片は2

になっています。

つまり、この2つの直線は、

  1. 平行である
  2. 直線OPから直線ABで切片が2増えている

ここで、求める点PとRを結んだ直線PRも同じような特徴を持つのでは?と、

傾きは1(AB//PR)で、切片はABの切片2+2で4の直線、

つまり、直線PRの式は、

y=x+4

となるのではないか?と思えるわけです。

これに気付けばあとは簡単です。

この直線と、二次関数y=x²の交点を求めてしまえば答えが出ます。

答え

y=x²とy=x+4の交点を求める。

代入法を使って、

x²=x+4
x²-x-4=0

解の公式より、

x=(1±√17)/2

  • p<-1
  • r>2

より、

p=(1-√17)/2

r=(1+√17)/2

と求まります。

ただし、これはあくまで予想の範囲なので、根拠がないとも言えます。(今回は正しいですが)

なので、なぜこれが使えるのかをしっかり理解してから使うようにしましょう。

これが使える理由はご要望があればまた書いてみようと思います。

まとめ

お疲れさまでした。

他にもやり方があるんですが、このやり方なら中学3年生の内容で解けてしまうんです。

数学の難しい問題を中学生の時の知識で解けるのがなんとも面白い!

そしてそれを高校生レベルのやり方で簡単に解くのも面白いんですよね。

解いてるときのドヤ感ったらないですから。笑

と今回は以上になります。高校生のやり方はまた書いてみようと思います。

それでは

ザ・エンドってね

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