先日こんな問題を出しました。
【面白い数学の問題】「△ＯＡＢ＝．．．」 難しいより面白いを感じてほしい
この問題高校生の範囲で考えるともっと簡単に解けるんです。
なので、今回は高校生Verで考えていこうと思いおます。
さっそくいってみましょう！それでは
レッツゴー
問題は全く同じなので「前の記事を見たよー」って方はとばしても大丈夫です。
問題
図のようなｙ＝x²のグラフがあります。
点Ａと点Ｂのｘ座標はそれぞれ-1、2です。
ここで問題です。
△ＯＡＢと面積が同じになるような△ＡＢＰ、△ＡＢＱ、△ＡＢＲとなるような点Ｐ、Ｑ、Ｒのｘ座標p、q、rを求めてください。
但し、点p、q、rのｘ座標の取りうる範囲は、
- p＜－1
- －1＜q＜2
- r＞2
とし、点Ｐ、Ｑ、Ｒはすべて、ｙ＝ｘ²のグラフ上にあるとします。
さて、解いていきましょう。
ちなみに、qの求め方は変わらないので、【面白い数学の問題】「△ＯＡＢ＝．．．」 難しいより面白いを感じてほしいを参考にしてください。
今回はpとrについてのみ書いていきます。
pとrを求める
これが今わかっていることです。
ここで、直線ＡＢと直線ＯＡに注目してみます。
すると、直線ＡＢの傾きは1になっており、ＯＡの傾きは－1になっていることが分かります。
これって何か見覚えありませんか？実は、
2直線の傾きの積(掛け算)がー1になるとき、その2直線は垂直に交わる
という性質があるんです。
つまり、∠ＯＡＢ＝90°ということです。
ここで、直線ＡＢに関して原点Ｏと対称な点Ａ’を考えてみます。
その点の座標はＡ’(－2，2)という点になります。
この点を取って何が良いかというと、△ＯＡＢ＝△Ａ’ＡＢとなることです。
これはＯＡの長さとＡ’Ａの長さが等しくなり、それぞれが三角形の高さになっているからです。
図では∠OAB＝90°には見えませんが、図が正しいとは限らないので注意してください。
ここで、
A’を通り直線ABに平行な直線を描くと、その直線上のどの点も△OABと面積が同じになります。
なので、二次関数上の点を求めるには、A’を通り直線ABに平行な直線と二次関数ｙ＝ｘ²のグラフの交点を求めればよいことになります。
これを求めていきましょう。
まずはA’を通り直線ABに平行な直線から。
Ａ’を通り直線ABに平行な直線
これは、ｙ＝ｘ＋bの式に点Ａ’(－2，2)を代入してbを求めればよいので、
2＝－2+b
b＝4
よって、
ｙ＝ｘ+４
となります。
交点を求める
ｙ＝ｘ²とｙ＝ｘ＋4の交点は、
ｘ²＝ｘ＋4
ｘ²－ｘ－4＝0
解の公式より、
ｘ＝(1±√17)/2
ともとまります。
p＜－1
r＞2
より、
p＝(1-√17)/2
r＝(1+√17)/2
と前よりも比較的簡単に解けました。
まとめ
どうですか？
これを知っていれば案外簡単に解けてしまします。
∠OAB＝90°は実は中学生の範囲でも気づくことができます。
その方法では2点間の距離という内容を使います。
2点間の距離の公式から、AB間の距離は、
❙AB❙＝√{2－(－1)}²+(4－1)²＝√18
また、OA間の距離は、
❙OA❙＝√(－1)²+1²＝√2
❙AB❙×❙OA❙÷2＝(√18)×(√2)÷2＝3
これは△OABの面積です。
つまり、AB×OA÷2をしたら△OABの面積が出た。
三角形の底辺と高さは垂直に交わるので、∠OAB＝90°であることが分かります。
一つの問題にいろいろなやり方があるのは本当に面白いですし、まだありそうな気がしていつまでもやってしまいます。
他にもこんなやり方あるよ！ってのがありましたら教えてください！
と今回は以上になります。それでは
ザ・エンドってね
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