【面白い数学の問題】「△OAB=... 高校生Ver」 より簡単により美しく

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

先日こんな問題を出しました。

【面白い数学の問題】「△OAB=...」 難しいより面白いを感じてほしい

この問題高校生の範囲で考えるともっと簡単に解けるんです。

なので、今回は高校生Verで考えていこうと思いおます。

さっそくいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題は全く同じなので「前の記事を見たよー」って方はとばしても大丈夫です。

問題

図のようなy=x²のグラフがあります。

点Aと点Bのx座標はそれぞれ-1、2です。

ここで問題です。

△OABと面積が同じになるような△ABP、△ABQ、△ABRとなるような点P、Q、Rのx座標p、q、rを求めてください。

但し、点p、q、rのx座標の取りうる範囲は、

  • p<-1
  • -1<q<2
  • r>2

とし、点P、Q、Rはすべて、y=x²のグラフ上にあるとします。

さて、解いていきましょう。

ちなみに、qの求め方は変わらないので、【面白い数学の問題】「△OAB=...」 難しいより面白いを感じてほしいを参考にしてください。

今回はpとrについてのみ書いていきます。

pとrを求める

これが今わかっていることです。

ここで、直線ABと直線OAに注目してみます。

すると、直線ABの傾きは1になっており、OAの傾きは-1になっていることが分かります。

これって何か見覚えありませんか?実は、

2直線の傾きの積(掛け算)がー1になるとき、その2直線は垂直に交わる

という性質があるんです。

つまり、∠OAB=90°ということです。

ここで、直線ABに関して原点Oと対称な点A’を考えてみます。

その点の座標はA’(-2,2)という点になります。

この点を取って何が良いかというと、△OAB=△A’ABとなることです。

これはOAの長さとA’Aの長さが等しくなり、それぞれが三角形の高さになっているからです。

図では∠OAB=90°には見えませんが、図が正しいとは限らないので注意してください。

ここで、

A’を通り直線ABに平行な直線を描くと、その直線上のどの点も△OABと面積が同じになります。

なので、二次関数上の点を求めるには、A’を通り直線ABに平行な直線と二次関数y=x²のグラフの交点を求めればよいことになります。

これを求めていきましょう。

まずはA’を通り直線ABに平行な直線から。

A’を通り直線ABに平行な直線

これは、y=x+bの式に点A’(-2,2)を代入してbを求めればよいので、

2=-2+b
b=4

よって、

y=x+4

となります。

交点を求める

y=x²とy=x+4の交点は、

x²=x+4
x²-x-4=0

解の公式より、

x=(1±√17)/2

ともとまります。

p<-1
r>2

より、

p=(1-√17)/2

r=(1+√17)/2

と前よりも比較的簡単に解けました。

まとめ

どうですか?

これを知っていれば案外簡単に解けてしまします。

∠OAB=90°は実は中学生の範囲でも気づくことができます。

その方法では2点間の距離という内容を使います。

2点間の距離の公式から、AB間の距離は、

❙AB❙=√{2-(-1)}²+(4-1)²=√18

また、OA間の距離は、

❙OA❙=√(-1)²+1²=√2

❙AB❙×❙OA❙÷2=(√18)×(√2)÷2=3

これは△OABの面積です。

つまり、AB×OA÷2をしたら△OABの面積が出た。

三角形の底辺と高さは垂直に交わるので、∠OAB=90°であることが分かります。

一つの問題にいろいろなやり方があるのは本当に面白いですし、まだありそうな気がしていつまでもやってしまいます。

他にもこんなやり方あるよ!ってのがありましたら教えてください!

と今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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