今回は早稲田大学の入試問題に挑戦です。
ですがこの問題、中学生でも解けるんです。
小学生でも考え方は分かるんじゃないでしょうか。
今回はそんな問題です。
しかし、そんな問題が賢い方たちの間で話題になったんです。
この答えが正解だ、いやその答えは間違っているという論争が起きました。
しかも、どこかの参考書が答えを間違えて掲載していたとかいないとか．．．
一体どんな問題なんでしょう。
さっそく問題にいってみましょう！それでは
レッツゴー
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問題
ジョーカーを抜いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し表を見ずに箱の中にしまいます。
そして残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したところ、3枚ともダイヤでした。
ここで問題です。
箱の中の1枚がダイヤである確率を求めてください。
どうでしょう？
論理クイズで鍛えられた皆さんならこの問題は簡単かもしれません。
ここから先に答えがあります。
答え
10/49
「当たり前じゃん」って思う方と、「え？」と思う方がいるかもしれませんが、答えは10/49になります。
え？という方は1/4だと思ったのではないでしょうか？
そこも含めて解説いたします。
では解説パートにいってみましょう。
よく分かる解説
解説1
52枚のうちマークが分かっているのは後に抜いた3枚のダイヤです。
マークが分からないカードは49枚あります。
その内訳は、
ダイヤ10枚、ハート13枚、スペード13枚、クローバー13枚
です。
この49枚の中の1枚がダイヤである確率を求めればよいので、
10/49
となります。
この解法なら小学生でも解けそうじゃないですか？
解説2
なぜ1/4ではないのか
これは数学上は計算したらそうなったとしか言えません。
しかし感覚的に分かるような例を挙げます。
このような状況を考えてみてください。
あなたはこの箱の中のカードのマークを当てるギャンブルをしているとします。
最初に箱の中に1枚入れました。
あなたは最初そのカードがダイヤであると言いました。
そのあとに3枚のダイヤを見せられました。
あなたの解答を1度だけ変えられるとしたらどうしますか？
ダイヤのままでいますか？
NOですよね？
ほとんどの人は変えると思います。
ですが、結局は最初に選んだままの確率から変わらないと思う方もいるでしょう。
そんなあなたにもう1つ質問をします。
少し極端に考えてみましょう。
次のような問題を考えてみます。
ジョーカーを抜いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し表を見ずに箱の中にしまいます。
そして残りのカードをよく切ってから13枚抜き出したところ、13枚ともダイヤでした。
ここで問題です。
箱の中の1枚がダイヤである確率を求めてください。
さすがに答えを変えますよね？
すでに13枚のダイヤが見えた状態で箱の中身がダイヤであるはずがないんですから。
極論かもしれませんが、これは暴論ではありません。
なぜなら、カードをめくる枚数によって確率が変動していっているからです。
| 見せられたダイヤの枚数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ・・・ | 12 | 13 |
| 箱の中身がダイヤである確率 | 25％ | 25％？ | 25％？ | 25％？ | 25％？ | 25％？ | 25％？ | 25％？ | 0％ |
この表を見てください。
箱の中身がダイヤである確率は、見せられたダイヤの枚数が0枚の時はもちろん1/4なので25％です。
そこから見せられるダイヤが増えていき13枚で0％になります。
この表で見せられたダイヤの枚数が12枚までずっと25％のままだと思う方っていませんよね？
ですが3枚という少ない枚数だとそのままで良いということを思ってしまうんです。
この問題何かに似てませんか？
そうなんです。
この問題はモンティホール問題によく似ています。
見ていない方はぜひ見てみてください！
【数学クイズ】選びなおす？選びなおさない？ 数学者も間違えるモンティ・ホール問題に挑戦！
よって今回の答えは1/4ではないことが分かります。
まとめ
どうでしたか？
すっきりしていただけたなら良いですが。
このような問題で1/4か10/49か迷ったときは極論を考えてみると良いです。
1/4のままではないことは感覚的にも分かりやすくなりますよ。
というわけで今回は、答えだけなら小学生でも解ける早稲田大学の入試問題でした。
今回は以上になります。それでは
ザ・エンドってね
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コメント
“3枚のダイヤを見せられた場合” と、”3枚引いたらたまたま全部ダイヤだった場合”の確率は違います。前者は1/4ままです。
わかりやすく言うなら、前者は、
あなたはこの箱の中のカードのマークを当てるギャンブルをしているとします。ゲームマスターが最初に箱の中に1枚入れました。
あなたは最初そのカードがダイヤであると言いました。
そのあとに、ゲームマスターが、”ヒントをあげよう。箱に入っていないカードのうち、3枚はダイヤだよ。”と言いました。
あなたの解答を1度だけ変えられるとしたらどうしますか？
この場合、変えても変えなくてもどっちでも良いことがわかりやすいと思います(なぜなら、箱の中にダイヤがあろうがなかろうが、マスターの言うことは成り立つからです。)また、マスターが、箱の外に13枚ダイヤがあるよ、といったときのみ、(つまりダイヤを13枚見せられたときのみ、)箱の中がダイヤである確率が変わります(箱の中にダイヤがあったら、マスターの言うことが成り立たないからです)
ただし、モンティホールのときと同じように、3枚のダイヤを見せられた時、箱の外の、表が見せられてないカードから一枚引いたときにダイヤが出てくる確率は、見せられる前と変わります。
つまり、本文のように、確率が10/49となるのは、箱外のカード3枚をめくったら”たまたま”全部ダイヤだったときのみ成り立ちます。