今回は有名な数学の問題、モンティ・ホール問題についてです。
この問題は直観的に考えると間違えやすい問題になってます。
ですが、分かった後の納得感はありますので、ぜひ最後まで読んでいってください！それでは
レッツゴー
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モンティ・ホール問題
問題
1つだけ当たりの箱が3つ用意されています。
あなたはたった一つある当たりを見つける挑戦者です。
まずあなたは1つの箱を選びます。
その後に、当たりの箱がどれか知っている司会者が、選ばれなかった箱のうちはずれの1つを開きます。（開かれるのは必ずはずれの箱です）
ここで、司会者があなたに箱を選び直すことができると言ってきました。
ここで問題です。
あなたは箱を選び直したほうが良いのでしょうか？
といった問題です。
皆さんならどうしますか？
一見どちらを選んでも同じな気がしますよね。
さあどうなんでしょうか。
ここから先に答えがあります。
答え
変えた方がいい
しかも、最初に選んだものから変更することで、当たる確率が2倍になる。
えっ？2倍？
と思いませんでしたか？
ですが、これは正しいと言えます。
なぜそんな結果になるのか、解説していきます。
では解説パートにいきましょう。
よく分かる解説
解説1
数学的な解き方
箱を左からA、B、Cとします。
挑戦者がAを選んだとします。
するとこれから起きるパターンとしては次の4つになります。
- Aが正解の箱の場合
司会者がBの箱を開く・・・① or 司会者がCの箱を開く・・・② - Bが正解の箱の場合
司会者がCの箱を開く・・・③ - Cが正解の箱の場合
司会者がBの箱を開く・・・④
①から④の確率をそれぞれ求めてみると、
①＝1/3（Aの箱を選ぶ確率）×1/2（司会者がはずれのＢかＣでBの箱を開く確率）＝1/6
②＝1/3（Aの箱を選ぶ確率）×1/2（司会者がはずれのＢかＣでCの箱を開く確率）＝1/6
③＝1/3（Aの箱を選ぶ確率）×1/1（司会者がCの箱を開く確率）＝1/3
④＝1/3（Aの箱を選ぶ確率）×1/1（司会者がBの箱を開く確率）＝1/3
ここで、①、②は箱を変えなければ正解のパターンです。
なので箱を変えずに当たる確率は、最初からＡを選んだ①と②のパターンなので、
①+②＝1/6＋1/6＝1/3
と求まります。
次に③、④の場合は箱を変えれば当たるパターンです。
なので箱を変えると当たる確率は、Ａを選ばなかった③と④のパターンなので、
③+④＝1/3＋1/3＝2/3
と求まります。
よって、箱を変えると変えないときに比べて2倍当たることになります。
一応補足を入れておくと、どの箱が正解の場合でもこれは成り立ちます。
解説2
極端に考える
こういうややこしい問題の場合、極端な場合を考えてみるという方法が役に立つことがあります。
今回の問題で、最初に選んだ箱から変えても変えなくても同じ1/2になりそうなのか。
それは、はずれの箱が開かれた後に、残された箱が2つでありそのうちのどちらかが当たりだからだと思います。
結局最後に選ぶ1/2というのが当たりの確率になりそうだというわけですね。
ではこの問題を極端に考えてみるとどうでしょうか。
もし、箱が10000個あったとします。
そしてあなたは1つ箱を選びました。
司会者ははずれの箱を開いていきます。
その数、9998個。
そして司会者があなたに聞くのです。
「あなたは箱を選び直すことができます。どうしますか？」
と。
どうでしょうか。
僕なら絶対選び直します。皆さんもそうじゃないですか？
これで、「変えても変えなくても同じだろ」って方はいませんよね、、、
解説3
最初にはずれを引けば当たる
当たりが3つのうち1つなので、はずれを最初に選ぶ確率は2/3です。
次に、司会者ははずれの箱を開きます。
ここで、
最初にはずれを選んだ場合(2/3)、箱を選びなおしたら当たる確率は100％
です。
なので、箱を選び直した時に当たる確率は、最初にはずれの箱を選ぶ確率と同じになるんです。
よって、箱を選び直した時に当たる確率は2/3となり、1/3がそのままの時に当たる確率になります。
そのままで当たるのは、最初から当たりを引き当てた時だけなので1/3となりますよね。
解説4
挑戦者の行動は2択
この解法はYouTube」の動画を作っている時に思い付いたんですが、この問題で挑戦者が取れる行動は、箱を変える、箱を変えないの2つになりますよね？
それ以外に行動のパターンが無いということは、この2つの行動で全ての確率を網羅する必要があります。
また、ここで大事なのは、起こりうる確率は全てを足し合わせると1(100％)になるということです。
解説1で①～④の確率を足し合わせると、
1/3+2/3＝1
と、1になっていることが分かると思います。
では、これをヒントにして考えていきましょう。
まず、箱を変えない場合は最初から当たりを引く必要があるので、1/3で当たりになります。
そして、箱を変える場合に当たりを引く確率を？とすると、
1/3+？＝1
となります。
よって、
？＝1－1/3＝2/3
と求められるので、2/3という答えが導き出せます。
実際にやってみる
この問題、実際にやってみるのも面白いですよ。
3枚の紙でもなんでもいいので用意します。
そして、この実験に付き合ってくれる友人を探します。（難易度：激高）
1つに何か目印をつけて、どれが当たりかを分かるようにします。
あとはモンティ・ホール問題のように進行していきます。
すると、選び直した時に当たる確率がきれいに2倍にはならないと思いますが、普通の運の持ち主なら高くなると思います。
これを1でやるとより直感的に当たる確率が高くなることが分かります。
なぜなら、1つ選んで、当たりがどれかは自分も分からりません。
なので2つともめくって確かめるしかありません。
この時に、めくった2つの紙のどちらかに当たりがあれば、選び直した時に当たるということになります。
なぜなら、1つのはずれは本来なら司会者が開けてくれるからです。
つまり、はずれを引いた場合の2/3が選び直した時に当たる確率になるのです。
まとめ
どうでしたか。
直感で選び直した方が良いと思った方は天才の可能性ありますよ。（知らんけど）
僕は最初は引っ掛かりましたが、3のやり方で納得しました。
結局最初にはずれさえ引ければ当たるんですから、そら2/3だわな、と。
自分の直感なんてあまりあてにならないなと感じました。
こういう数学のパラドックスって面白いですよね。
僕だけなんでしょうか。
今回は以上です。それでは
ザ・エンドってね
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