【面白い数学の問題】「モンティ・ホール問題」 あなたなら選びなおす?選びなおさない?

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は有名な数学の問題、モンティ・ホール問題についてです。

この問題は直観的に考えると間違えやすい問題になってます。

ですが、分かった後の納得感はありますので、ぜひ最後まで読んでいってください!それでは

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

モンティ・ホール問題

問題

 

1つだけ当たりの箱が3つ用意されています。

あなたはたった一つある当たりを見つける挑戦者です。

 

まずあなたは1つの箱を選びます。

 

 

その後に、当たりの箱がどれか知っている司会者が、選ばれなかった箱のうちはずれの1つを開きます。(開かれるのは必ずはずれの箱です)

 

 

ここで、司会者があなたに箱を選び直すことができると言ってきました。

 

 

ここで問題です。

あなたは箱を選び直したほうが良いのでしょうか?

といった問題です。

皆さんならどうしますか?

一見どちらを選んでも同じな気がしますよね。

さあどうなんでしょうか。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

変えた方がいい

しかも、最初に選んだものから変更することで、当たる確率が2倍になる。

えっ?2倍?

と思いませんでしたか?

ですが、これは正しいと言えます。

なぜそんな結果になるのか、解説していきます。

では解説パートにいきましょう。

よく分かる解説

解説1

数学的な解き方

箱を左からA、B、Cとします。

挑戦者がAを選んだとします。

するとこれから起きるパターンとしては次の4つになります。

  1. Aが正解の箱の場合
    司会者がBの箱を開く・・・① or 司会者がCの箱を開く・・・②
  2. Bが正解の箱の場合
    司会者がCの箱を開く・・・③
  3. Cが正解の箱の場合
    司会者がBの箱を開く・・・④

①から④の確率をそれぞれ求めてみると、

①=1/3(Aの箱を選ぶ確率)×1/2(司会者がはずれのBかCでBの箱を開く確率)=1/6

②=1/3(Aの箱を選ぶ確率)×1/2(司会者がはずれのBかCでCの箱を開く確率)=1/6

③=1/3(Aの箱を選ぶ確率)×1/1(司会者がCの箱を開く確率)=1/3

④=1/3(Aの箱を選ぶ確率)×1/1(司会者がBの箱を開く確率)=1/3

ここで、①、②は箱を変えなければ正解のパターンです。

なので箱を変えずに当たる確率は、最初からAを選んだ①と②のパターンなので、

①+②=1/6+1/6=1/3

と求まります。

次に③、④の場合は箱を変えれば当たるパターンです。

なので箱を変えると当たる確率は、Aを選ばなかった③と④のパターンなので、

③+④=1/3+1/3=2/3

と求まります。

よって、箱を変えると変えないときに比べて2倍当たることになります。

一応補足を入れておくと、どの箱が正解の場合でもこれは成り立ちます。

解説2

極端に考える

こういうややこしい問題の場合、極端な場合を考えてみるという方法が役に立つことがあります。

今回の問題で、最初に選んだ箱から変えても変えなくても同じ1/2になりそうなのか。

それは、はずれの箱が開かれた後に、残された箱が2つでありそのうちのどちらかが当たりだからだと思います。

結局最後に選ぶ1/2というのが当たりの確率になりそうだというわけですね。

ではこの問題を極端に考えてみるとどうでしょうか。

もし、箱が10000個あったとします。

そしてあなたは1つ箱を選びました。

司会者ははずれの箱を開いていきます。

その数、9998個。

そして司会者があなたに聞くのです。

「あなたは箱を選び直すことができます。どうしますか?」

と。

どうでしょうか。

僕なら絶対選び直します。皆さんもそうじゃないですか?

これで、「変えても変えなくても同じだろ」って方はいませんよね、、、

解説3

最初にはずれを引けば当たる

当たりが3つのうち1つなので、はずれを最初に選ぶ確率は2/3です。

次に、司会者ははずれの箱を開きます。

ここで、

最初にはずれを選んだ場合(2/3)、箱を選びなおしたら当たる確率は100%

です。

なので、箱を選び直した時に当たる確率は、最初にはずれの箱を選ぶ確率と同じになるんです。

よって、箱を選び直した時に当たる確率は2/3となり、1/3がそのままの時に当たる確率になります。

そのままで当たるのは、最初から当たりを引き当てた時だけなので1/3となりますよね。

解説4

挑戦者の行動は2択

この解法はYouTube」の動画を作っている時に思い付いたんですが、この問題で挑戦者が取れる行動は、箱を変える、箱を変えないの2つになりますよね?

それ以外に行動のパターンが無いということは、この2つの行動で全ての確率を網羅する必要があります。

また、ここで大事なのは、起こりうる確率は全てを足し合わせると1(100%)になるということです。

解説1で①~④の確率を足し合わせると、

1/3+2/3=1

と、1になっていることが分かると思います。

では、これをヒントにして考えていきましょう。

まず、箱を変えない場合は最初から当たりを引く必要があるので、1/3で当たりになります。

そして、箱を変える場合に当たりを引く確率を?とすると、

1/3+?=1

となります。

よって、

?=1-1/3=2/3

と求められるので、2/3という答えが導き出せます。

実際にやってみる

この問題、実際にやってみるのも面白いですよ。

3枚の紙でもなんでもいいので用意します。

そして、この実験に付き合ってくれる友人を探します。(難易度:激高)

1つに何か目印をつけて、どれが当たりかを分かるようにします。

あとはモンティ・ホール問題のように進行していきます。

すると、選び直した時に当たる確率がきれいに2倍にはならないと思いますが、普通の運の持ち主なら高くなると思います。

これを1でやるとより直感的に当たる確率が高くなることが分かります。

なぜなら、1つ選んで、当たりがどれかは自分も分からりません。

なので2つともめくって確かめるしかありません。

この時に、めくった2つの紙のどちらかに当たりがあれば、選び直した時に当たるということになります。

なぜなら、1つのはずれは本来なら司会者が開けてくれるからです。

つまり、はずれを引いた場合の2/3が選び直した時に当たる確率になるのです。

まとめ

どうでしたか。

直感で選び直した方が良いと思った方は天才の可能性ありますよ。(知らんけど)

僕は最初は引っ掛かりましたが、3のやり方で納得しました。

結局最初にはずれさえ引ければ当たるんですから、そら2/3だわな、と。

自分の直感なんてあまりあてにならないなと感じました。

こういう数学のパラドックスって面白いですよね。

僕だけなんでしょうか。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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