【面白い数学の問題】「規則正しく並んだ数字」 ピラミッド型

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は気付き勝負の問題になります。

その気付きさえあれば答えは簡単です。

少し数学の知識は要りますが。

どんな問題なのか、さっそくいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題

上図のような法則で数字が並んだピラミッド状の正三角形があります。

この図の3段目の左端と右端の数を足すと5+9=14となります。

ここで問題です。

①左端の数と右端の数を足すと222になるのは上から何段目でしょうか?

②100段目の左端の数と右端の数を足した数は何になるでしょうか?

一つ一つ数字を当てはめていってももちろん解けますが、できるだけ楽に解きたいところです。

数学は楽した者勝ちですから。

ヒントはなしです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

①10段目

②19802

どれくらいで解けましたか?

そしてあることには気付けましたか?

分からなかった方も、答えが出た方も解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

解説①

n段目の左端の数と右端の数を文字で表す

まず気付いてほしいあることとは、

右端の数が段数の2乗になっている

ということです。

これは気付いた方も多いと思いんじゃないでしょうか?

例えば2段目を見てみると、右端の数が

2²=4

となっています。

では左端の数はどんな数字なのか?

それは、

1つ前の段の右端の数+1

になっています。

これが気付いてほしいこと2つ目です。

例えば3段目の左端の数は、2段目の右端の数である4に1を足した5になっています。

これを文字を使って書いてみましょう。

n段目の左端の数は、n-1段目の右端の数+1なので、

n段目の左端の数=(n-1)²+1

となります。

そして、n段目の右端の数は、

n段目の右端の数=n²

となります。

解説②

問題①の解説

問題①はn段目の左端の数と右端の数を足すと222になるので、

n²+(n-1)²+1=222
2n²-2n+2-222=0
2n²-2n-220=0
n²-n-110=0
(n-11)(n+10)=0

今回

n>0

なので、

n=11

となり、11段目であることが求まりました。

解説③

問題②の解説

ここまでくればあとは簡単。

n²+(n-1)²+1

にn=100を代入してあげれば終わりです。

ただ、このままだと99²をしなくてないけなくなるので、

2n²-2n+2

にしてからn=100を代入して計算ミスを防ぎましょう。

2×10000-2×100+2=19082

と求まります。

まとめ

どうでしたか?

いち早く気付いて簡単に解けた方は数学のセンスがあります!

もっともっと数学にのめりこんでいきましょう!

気付けなかったとしても大丈夫です。

こんな考え方があるということを知ったことに意味があるんです。

そして面白いと思えたならそれも数学を楽しむうえでとても大事な感性です。

もっと数学にのめりこんでいきましょう!

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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