【面白い数学の問題】「かくかくな対角線もどき」 3本の線で正方形の面積を求められる?

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回はヒントの少ない図形問題です。

よくある面積を求める問題になります。

今回も一筋縄ではいかない問題を用意しましたので、楽しんでいってください!

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題

上図で、

ED=10
EF=4
BF=6

となる線がDE⊥EF、EF⊥BFとなるように交わっています。

ここで問題です。

正方形ABCDの面積を求めてください。

 

これだけのヒントで正方形の面積が求まります。

どうやって求めるのでしょうか。

ヒントを1つだけお教えします。

 

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。 

 

 

 

 

 

ヒント

 

図のような対角線を考えます。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

136

 

対角線のヒントから答えまでどのように導いていくのか。

解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

対角線とEFの交点を点Pとします。

すると、△FBPと△EDPは相似になります。
∠BFP=∠DEP=90°(仮定)、∠BPF=∠DPE(対頂角)
2組の角がそれぞれ等しい

相似比は、BF:DE=6:10=3:5なので、

FP:EP:EF=3:5:8
BP:DP:BD=3:5:8

となります。

よって、

FP:EF=3:8=x:4
8x=12
x=3/2

より、

FP=3/2

となります。

△FBPで三平方の定理より、

BP²=BF²+FP²
BP²=36+(9/4)
BP²=153/4
BP>0より
BP=√153/2

と求まります。

また、

BP:BD=3:8

より、

3:8=√153/2:y
3y=4√153
y=4√153/3

となります。

正方形の面積は、

対角線の長さ×対角線の長さ÷2

で求められるので正方形の面積をSとすると、

S=(4√153/3)×(4√153/3)÷2
S=(16×153/9)÷2

S=16×17÷2=136

となり正方形ABCDの面積が求まります。

まとめ

正方形、面積ときたら対角線を求めることが定石になります。

受験生の皆はもちろん覚えてますよね?

知らなかったという人は今覚えてしまいましょう。

今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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