【面白い数学の問題】数学オリンピックからの挑戦!正方形の1辺の長さを求めよ

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は数学オリンピックからの問題です。

良問すぎて悶絶です。

ただ、かなり難しいです。

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題

上図のように縦の長さが8で、横の長さが7の長方形の中に正方形が5つ埋まっています。

ここで問題です。

正方形の面積は何でしょうか?

さすが数学オリンピック、むずいぃぃ。

なんだこれ!

ですが解けちゃうんですから数学って素晴らしいんです。

さあどうやって解いていきましょうか。

今回はヒントを出します。

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。

 

 

 

 

 

ヒント1

補助線を引く

補助線を引くと見えてくるかもしれません。

補助線は長方形に平行に引くと良いでしょう。

 

 

 

 

 

ヒント2

補助線を引いた図

 

 

 

 

 

ヒント3

1つの正方形を考える

下図の緑の部分で考えられることが詰まっています。

 

 

 

 

 

ラストヒント

三角形に注目

下図の緑の三角形に注目です。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

5

どうやって解くのでしょうか。

解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

ヒント2で示した正方形に注目します。

下図のようにA~Iを示しておきます。

長方形に平行に補助線を引いているので、

∠AFB=∠BGC=∠CHD=∠DEA=90°

となります。

まず、BC//ADより、

∠BCG=∠CID(錯覚)

となります。

また、AF//ICより、

∠DIC=∠DAF(同位角)

となります。

△AFBと△CHDについて

∠BAF()=90°-∠DAF(
∠DCH()=90°-∠BCI(

より、

∠BAF=∠DCH

よって、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい直角三角形なので、

△AFB≡△CHD

(≡は三角形が合同、全ての辺、角度が等しいということです)

同様にして角度を求めていくと、

よって、△AFB=△DEA=△CHD=△BGCとなります。

次は下図のように三角形を考えます。

この三角形の青色の辺をx㎝、緑色の辺をy㎝とすると、

8=x+y+y+x+y=2x+3y

となります。

次に下図を考えます。

図より、

7=y+y+x+y=x+3y

8=x+y+y+x+y=2x+3y

2つを連立して解くことで

x=1、y=2

となります。

よって、三平方の定理から、正方形の1辺の長さをℓとすると、

ℓ²=1²+2²=5
ℓ>0より
ℓ=√5㎝

と求まります。

よって面積は、

√5×√5=5

より、5と求まります。

まとめ

おもしろすぎる!

解いてる間楽しすぎました。

数学オリンピックの問題作ってる人ってどんだけすごいんや…

そんなことを思った1日でした。

今回は以上です。それでは!

ザ・エンドってね

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