今回は数学オリンピックからの問題です。
良問すぎて悶絶です。
ただ、かなり難しいです。
さっそく問題にいってみましょう！それでは
レッツゴー
問題
上図のように縦の長さが8で、横の長さが7の長方形の中に正方形が5つ埋まっています。
ここで問題です。
正方形の面積は何でしょうか？
さすが数学オリンピック、むずいぃぃ。
なんだこれ！
ですが解けちゃうんですから数学って素晴らしいんです。
さあどうやって解いていきましょうか。
今回はヒントを出します。
自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。
ヒント1
補助線を引く
補助線を引くと見えてくるかもしれません。
補助線は長方形に平行に引くと良いでしょう。
ヒント2
補助線を引いた図
ヒント3
1つの正方形を考える
下図の緑の部分で考えられることが詰まっています。
ラストヒント
三角形に注目
下図の緑の三角形に注目です。
ここから先に答えがあります。
答え
5
どうやって解くのでしょうか。
解説パートにいってみましょう。
よく分かる解説
ヒント2で示した正方形に注目します。
下図のようにA～Iを示しておきます。
長方形に平行に補助線を引いているので、
∠AFB＝∠BGC＝∠CHD＝∠DEA＝90°
となります。
まず、BC//ADより、
∠BCG＝∠CID（錯覚）
となります。
また、AF//ICより、
∠DIC＝∠DAF（同位角）
となります。
△AFBと△CHDについて
∠BAF（●）＝90°－∠DAF（●）
∠DCH（●）＝90°－∠BCI（●）より、
∠BAF＝∠DCH
よって、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい直角三角形なので、
△AFB≡△CHD
（≡は三角形が合同、全ての辺、角度が等しいということです）
同様にして角度を求めていくと、
よって、△AFB＝△DEA＝△CHD＝△BGCとなります。
次は下図のように三角形を考えます。
この三角形の青色の辺をｘ㎝、緑色の辺をｙ㎝とすると、
8＝ｘ+ｙ+ｙ+ｘ+ｙ＝2ｘ+3ｙ
となります。
次に下図を考えます。
図より、
7＝ｙ+ｙ+ｘ+ｙ＝ｘ+3ｙ
8＝ｘ+ｙ+ｙ+ｘ+ｙ＝2ｘ+3ｙ
2つを連立して解くことで
ｘ＝1、ｙ＝2
となります。
よって、三平方の定理から、正方形の1辺の長さをℓとすると、
ℓ²＝1²+2²＝5
ℓ＞0より
ℓ＝√5㎝
と求まります。
よって面積は、
√5×√5＝5
より、5と求まります。
まとめ
おもしろすぎる！
解いてる間楽しすぎました。
数学オリンピックの問題作ってる人ってどんだけすごいんや…
そんなことを思った1日でした。
今回は以上です。それでは！
ザ・エンドってね
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