【面白い数学の問題】「ラングレーの問題」 難問注意!だが面白い!

面白い数学の問題

今回は角度の問題です。

難しい問題なので補助線などをどこに引くかなどを試しながらじっくり考えてみましょう。

それではさっそく問題にいってみましょう!

レッツゴー

問題

上のような図があります。

ここで問題です。

xの角度を求めてください。

 

この問題はラングレーの問題として有名です。

難問になりますのでじっくり考えてみましょう。

今回はヒントありです。

 

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。 

 

 

 

 

 

ヒント1

補助線を引く

上図のように辺BCに平行な線と、線分ABを延長して平行線と交わる点を点Eとします。

すると、四角形EBCDは台形であり、EB=DCとなります。

これは、∠EBC=∠DCBとなっているからです。

これは、台形EFBCとEBとFCを延長して三角形にすると下図のようになります。

△ABCと△AEFは相似です。

また、△ABCは二等辺三角形なので、相似である△AEFも二等辺三角形となります。

よって、

AE=AF、AB=AC、EB=FC

となります。

これを問題の図に当てはめると、EB=DCとなることが分かります。

 

 

 

 

 

ヒント2

補助線を引く

次に引く補助線はECです。

この四角形の対角線の交点をFとしておきます。

 

 

 

 

 

ヒント3

△FBCと△FEDは正三角形

∠DCEと∠EBDは同じになるので、∠ECD=20°となります。

よって、∠ECA=10°となるので∠FCB=60°となります。

よって、△FBCは正三角形になります。

∠FED=∠FCB=60°(錯角)
∠FDE=∠FBC=60°(錯角)

となるので△FEDも正方形となります。

よって、

FB=BC=CF
EF=FD=DE

となります。

 

 

 

 

 

ヒント4

△ABCは二等辺三角形

△ABCは二等辺三角形なので、正三角形FBCの1辺の長さとABの長さは同じになります。

AB=FB=BC=CF

 

 

 

 

 

ラストヒント

△AFBは二等辺三角形

ヒント4でAB=FBになったのでAFを結んで二等辺三角形を作りたくなりますよね。

引くべき補助線は全て引いたのでヒントはこの辺にしておきます。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

30°

 

よく分かる解説

図に分かる角度を書いていきます。

ますは△FBCが正三角形なので、

∠BFC=60°

となります。

また、∠BECは△EBCの内角が180°なので、

∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE
∠BEC=180°-80°-60°=40°

となります。

また、△AFBで∠ABF=20°なので、

∠BAF+∠BFA=160°

であり、△AFBは二等辺三角形なので、

∠BAF=∠BFA

です。よって、

∠BAF=∠BFA=80°

となります。

ECは直線なので、

∠EFA+∠AFB+∠BFC=180°
∠EFA+80°+60°=180°
∠EFA=40°

となります。

ここで、

∠AEF=∠AFE

となるので、△AEFは二等辺三角形となります。

よって、

AE=AF

となります。

ここまでで△AEDと△AFDの合同が証明できます。

△AEDと△AFDで、

△AEFが二等辺三角形:AE=AF
共通な辺:AD=AD
△EFDが正三角形:ED=FD

となり、3組の辺が全て等しいので、

△AED≡△AFD

となります。

合同な図形の対応する角は等しいので、

∠EDA=∠FDA

となります。

また、△EDFは正三角形なので∠EDF=60°です。

よって、

∠FDA=x°=30°

と求まります。

まとめ

この問題はまだまだ解き方があります。

この方法が自分的には解きやすいという理由と最初に思いついた解法なのでこちらを解説として紹介しました。

他の解法は要望があればまた書いていこうと思います。

今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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