【面白い数学の問題】∫√(x+√(x+√(x+…)))dx は?なにこれ?無限に√x+が出てくる積分問題を解いてみた

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は、ビジュアル的にも面白い問題です。

なんだか解きたくなっちゃったので書いてみます。

さっそく問題にいきましょう。それでは

レッツゴー

問題

これです。これを解きたくなったんです。

面白そうじゃないですか?

ルートの中が無限に続いていくという問題。

いったいどうやって解いていこうか。

解説編行きましょう。

よく分かる?解説

√(x+√(x+√(x+…)))をyと置いてやります。

条件として、xはルートの中身なので

x≧0

また、

y≧0

となります。

ここで、無限に続くなら緑の部分もyと置ける、ということに気付けるかどうかがこの問題のキモになります。

これさえ気付ければ、あとはすんなりと解けるようになります。

まずは、yと置いたものを書いてみましょう。

両辺を2乗して

ここからやり方が2通りあります。

平方完成を使う場合

まずはyを求めます。

これを、元の式

に代入すると、

と、答えが求まりました。

二次方程式の解の公式を使う場合

まずyを求めます。

これを元の式

に代入すると

と求まります。

まとめ

今回はルートの中身が無限に続くものの積分についてでした。

この問題は、最初のものをyと置いたらルートの中もyと置けることに気付けたら、後は普通に積分していくだけで解けるようになります。

しかし、これ無限に続いていくのに積分したら値が求まるって不思議な感じがしませんか?

僕だけでしょうか。

こういう気付き1発にかけるような問題が好きなので、この問題が解けたときは気持ちよすぎました笑

また面白そうな問題があれば書いてみようと思います。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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