【面白い数学の問題】「碁石」 碁石の数を数えてみよう!

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は碁石を使った問題です。

よく似た問題を前に出しています。

こちらですね。

テイストは違いますが考え方が似ています。

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

 

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問題

上図のように、

1番目に白の石を1個、2番目にその石を囲むように黒の石を、3番目にその黒の石を囲むように白の石を…と続いていく碁石があります。

ここで問題です。

①100番目にある石は何個でしょうか?

②石が10000個を超えるのは何番目になった時でしょうか?

 

この石の増え方のクセを掴んで正解へと辿り着いてください!

ヒントはなしです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

①19801

②72番目

よく分かる解説

 

勘が良い人はこれだけで分かってしまうかもしれません。

この図が示しているのは、

1番目には白の石が1個(1²)
2番目は白の石が1個、黒の石が4個(2²)
3番目は白の石が9個(3²)、黒の石が4個

ということです。

これが分かると4番目の石の数も分かります。

4番目は白の石が9個、黒の石が16個(4²)となります。

これをnを使ってn番目の碁石の数を表すと、

(n-1)²+n²

となります。

nが奇数(1、3、5・・・)なら、n²が白の石の数になり、その1つ前のn-1番目の2乗、(n-1)²が黒の石の数になります。

nが偶数なら反対ですね。

今回は石の数を聞かれているので、(n-1)²+n²という式だけでOKです。

あとはこの式から問題を考えていくだけです。

解説1

①の解説

100番目の碁石の数は、

99²+100²=9801+10000=19801

よって

19081個

です。

解説2

②の解説

碁石の数が10000個を超えるためにはn²が5000を超えなければいけません。

n=7の時n²=4900なのでこの辺りに答えがありそうです。

n=71の時、71²=5041、70²=4900なので、

(n-1)²+n²=5041+4900=9941

となり10000を超えません。

n=72の時は71²=5041と5000を超えているので、(n-1)²+n²を計算すると10000を超えることは確定です。

答えを求める必要はありません。

ちなみに71²+72²=10225です。

よって②の答えは72番目であることが求まります。

まとめ

こういった問題では何かの規則によって増えたりしています。

その規則を見つけた時のやってやったぜ感がたまんないですね。

皆さんはどうでしょうか?

と、今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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