今回は碁石を使った問題です。
よく似た問題を前に出しています。
こちらですね。
テイストは違いますが考え方が似ています。
さっそく問題にいってみましょう！それでは
レッツゴー
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問題
上図のように、
1番目に白の石を1個、2番目にその石を囲むように黒の石を、3番目にその黒の石を囲むように白の石を…と続いていく碁石があります。
ここで問題です。
①100番目にある石は何個でしょうか？
②石が10000個を超えるのは何番目になった時でしょうか？
この石の増え方のクセを掴んで正解へと辿り着いてください！
ヒントはなしです。
ここから先に答えがあります。
答え
①19801
②72番目
よく分かる解説
勘が良い人はこれだけで分かってしまうかもしれません。
この図が示しているのは、
1番目には白の石が1個(1²)
2番目は白の石が1個、黒の石が4個(2²)
3番目は白の石が9個(3²)、黒の石が4個
ということです。
これが分かると4番目の石の数も分かります。
4番目は白の石が9個、黒の石が16個(4²)となります。
これをｎを使ってｎ番目の碁石の数を表すと、
(ｎ-1)²+ｎ²
となります。
ｎが奇数(1、3、5・・・)なら、ｎ²が白の石の数になり、その1つ前のｎ-1番目の2乗、(ｎ-1)²が黒の石の数になります。
ｎが偶数なら反対ですね。
今回は石の数を聞かれているので、(ｎ-1)²+ｎ²という式だけでOKです。
あとはこの式から問題を考えていくだけです。
解説1
①の解説
100番目の碁石の数は、
99²+100²＝9801+10000＝19801
よって
19081個
です。
解説2
②の解説
碁石の数が10000個を超えるためにはｎ²が5000を超えなければいけません。
ｎ＝7の時ｎ²＝4900なのでこの辺りに答えがありそうです。
ｎ＝71の時、71²＝5041、70²＝4900なので、
(ｎ-1)²+ｎ²＝5041+4900＝9941
となり10000を超えません。
ｎ＝72の時は71²＝5041と5000を超えているので、(ｎ-1)²+ｎ²を計算すると10000を超えることは確定です。
答えを求める必要はありません。
ちなみに71²+72²＝10225です。
よって②の答えは72番目であることが求まります。
まとめ
こういった問題では何かの規則によって増えたりしています。
その規則を見つけた時のやってやったぜ感がたまんないですね。
皆さんはどうでしょうか？
と、今回は以上になります。それでは
ザ・エンドってね
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