【面白い数学の問題】くじの順番で確率は変わる?実際どうなのか確かめてみよう【くじ引きの公平性】

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

皆さん、くじの順番って気にする派ですか?

僕は後に引きたいと思うタイプです。

今回の問題はそんな悩みを解決する問題です!それでは

レッツゴー

問題

くじ引きを引く順番の問題です。

さっそく問題です。

くじ引きの当たりの確率は1番と最後の人で変わるでしょうか?

どうなんでしょう?

僕は中盤くらいに引きたいタイプです。

皆さんはどうですか?

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

変わらない

答えは何となく察しが付く気がしますが、なぜそうなるのかを解説できますか?

ここからの解説で理解していきましょう!

よく分かる解説

例としてくじを3枚当たりを1枚とします。

1:1番目にくじを引く場合

当たる確率は、

1/3

となります。

2:2番目にくじを引く場合

この場合自分が当たる確率は、

  1. 1人目が外れの場合
    2/3×1/2=2/6
  2. 1人目が当たりの場合
    1/3×0/2=0

となるので、1と2を足して

2/6+0=2/6=1/3

となります。

3:3番目にくじを引く場合

この場合に自分が当たる確率は、

  1. 1人目が外れ、2人目も外れの場合
    2/3×1/2×1/1=2/6
  2. 1人目が外れ、2人目が当たりの場合
    0
  3. 1人目が当たり、2人目が外れの場合
    0

となるので答えは

2/6+0+0=2/6=1/3

となります。

結局何番目に引いても同じになるんですね。

これはくじの枚数を増やしても、当たりの枚数を増やしても結果は同じになります。

順番が関係ないことを証明しよう

場合の数で証明

今、くじの数がn本、当たりの数が1本とします。

そして、自分がk番目にくじを引くとして考えます。

まず1番目に引く場合、当たる確率は

1/n

です。

ここで、k番目までのくじが引かれる数が何通りあるかを考えると、

まず、1人目はn本から引くので、n通りです。

次に2人目はn本から1本引かれている状態なので、n-1本です。

これを、k人目まで考えると、

n(n-1)(n-2)・・・(n-k+1)=nPk 通り

となります。

次に、自分の1人前(k-1番目)の人までがくじを引く数を求めます。

これは、

(n-1)(n-2)(n-3)・・・{(n-1)-(k-1)+1}
=(n-1)(n-2)・・・(n-k+1)
n-1Pk-1

となります。

  • なぜ、n-1が使われるのか
    今、自分が当たりを引く確率を求めているので、n本のくじから自分が引くはずの当たりのくじを引いているからです。
    つまり、自分の当たりは別に用意されていてそれを自分の番で引くイメージです。

k-1番目の人が引き終わった後に自分が当たりを引くので、当たりが1本の場合、n-1Pk-1が自分が当たりを引く場合の数になります。

よって

と求まります。

よって1人目の当たる確率と同じになりました。

また、当たりの数がr本の時を考えます。

1番目に引くとき、当たる確率は

r/n

です。

自分が引くはずの当たりがrになるので、

となります。

よって、1番目に引く場合の確率と同じになりました。

よって1番目に引いても、k番目に引いても確率は同じなので、何番目に引いても確率は同じです。

数学的帰納法のように証明

くじの数をn本として、自分がk番目に引くことを考えます。

k番目に自分が引くときに残っている当たりの数をr本とします。

すると、k番目に当たりを引く確率をpkとすると

となります。

k=1の時、

p(1)=r/n

となります。

次に、k+1番目に引く場合を考えます。

k+1番目に当たりを引くのは、

k番目の人が当たりを引き自分も当たりを引く・・・①

または

k番目の人が外れを引き自分は当たりを引く・・・②

の2パターンがあります。

この2つを足したものがk+1番目に当たりを引く確率になります。

計算すると、

となります。

k+1番目の人がk番目の人と同じ確率になりました。

また、1人目の確率は

r/n

だったので、いつくじを引いても、確率はr/nで同じだということが証明されました。

おまけ

n本のくじで当たりがr本のくじを、全員が引き終わってから結果を見るなら当たる確率は

r/n

です。

これに順番という条件が付け加わるだけなので、同じな気がしませんか?

なので、確率は同じだと直感的にも分かると思います。

まとめ

お疲れ様でした。

今回はくじ引きの公平性についてでした。

皆さんは先に引きたいですか?

それとも後でしょうか?

確率は同じですが、先と後には明確に違いがあります。

それは、後に引く人は、当たりが出てしまうと引く権利さえ無くなってしまうという点です。

しかし、外れが引かれるほど、自分の当たる確率は上がっていきます。

先に引く人は、引く権利が確保され、当たる確率はいつも大体同じです。

これのどちらがいいかですね。

今回はそんなくじの後先どちらがお得なのかにについてでした。

分かりにくいところなどありましたらコメントかお問い合わせにて。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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