【面白い数学の問題】「灘高校入試問題」 三角形分け分け

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は灘高校の入試問題に挑戦してみましょう!

灘高校といえば超名門ですよね。

入試問題も難問揃いですが、中学生が解けるなら僕にも解ける!はず…

という意気込みだけは立派なそらです。

今回の問題は解法がいくつも考えられるパターンです。

僕の好みです。

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

問題

上図は、

BD=1
DC=4
AD⊥BC
∠B=2∠C

となっています。

ここで問題です。

ACの長さを求めてください。

 

この問題を見たときに初めは簡単そうだなと思ったのですが、これがなかなか奥の深い問題です。

やり方は様々なので1つ解法が見つけられた方もほかの解法を探してみてください。

今回は2つのやり方を紹介します。

今回はヒントありです。

 

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。 

 

 

 

 

 

ヒント1

補助線を引く(解法1)

図形の難問と言えばやっぱ補助線ですね。

 

解法1のヒントです。

赤線のように∠Bを半分にするような線を引くと良いことがあります。

相似を見つけましょう。

 

 

 

 

ヒント2

補助線を引く(解法2)

解法2で使う補助線です。

 

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

2√6

よく分かる解説

解説1

図のように補助線を引くと、

∠FBD=∠ACD、∠FDB=∠ADBより、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△FDB∽△ADC

相似比は、BD:CD=1:4です。

また、

FD:AD=1:4より、

AF:FD=1:3

となります。

 

ここで思い出してほしいことがあります。

図のように角の二等分線を引くとそれぞれの辺の比は、

a:b=c:d

になります。

これを下の図で使います。

BEは∠Bの二等分線なので、

AB:BD=AF:FD
AB:1=3:1

です。

よって、

AB=3

と求まります。

ここからは三平方の定理の出番です。

 

AB=3と求まったので△ABDで三平方の定理を使って、

AB²=AD²+BD²
3²=AD²+1²
AD²=9-1=8
AD>0より、
AD=2√2

とADが求まります。

次に△ADCで三平方の定理を使って、

AC²=AD²+DC²
AC²=8+16=24
AC>0より、
AC=2√6

とACが求まります。

 

解説2

個人的にはこっちの解法が分かりやすいかなと思います。

上図のように補助線を引くと、

AD=AD(共通)、∠ABD=∠AED(仮定)、∠ADB=∠ADE=90°(仮定)、∠DAB=∠DAE(三角形の内角)より、
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△AED

となります。

BD=ED=1より、

ED=1、EC=3

になります。

また外角の公式から、

∠CAE+∠ACE=∠AED

より、∠EAC=〇=∠ACEであることが分かります。

つまり△ACEは二等辺三角形です。

よってAE=3です。

 

ここで△ADEで三平方の定理を使って、

AE²=AD²+DE²
9=AD²+1
AD²=9-1=8
AD>0より、
AD=2√2

△ADEで三平方の定理を使って、

AC²=AD²+DC²
AC²=8+16=24
AC>0より、
AC=2√6

と求まります。

まとめ

いかがでしたか?

個人的には2つ目のやり方が分かりやすいように思っています。

他にもいろいろなやり方がありますのでぜひ探してみてください。

図形の問題はどこに補助線を引くかという勝負なのでそのあたりの勘を磨いていけば難問も解けるようになっていきます。

思いついた補助線は全部試してみましょう。

練習問題で慣れれば本番でも思いつけるようになっているはず!

と今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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