【面白い数学の問題】「火曜日に生まれた男の子」 火曜日に生まれたことがどう確率に影響するの?

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は確率の問題ですが直感で答えると必ず間違えると言い切れるほど直感に反した答えになります。

なのでかなり注意深く解いてみてください。

答えを見た後でもなぜそうなるのかを考えてみると面白いと思います。

 

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題

あるところに子どもが二人いました。

その子どものうち(少なくとも)一人は男で火曜日に生まれたと分かりました。

ここで問題です。

二人とも男である確率を求めてください。

 

答えはどうなるでしょうか?

真っ先に浮かんだ答えはおそらく違うでしょう。

もしその答えが合っていたらあなたの直感力は第六感並みに凄いです。

ヒントはなしです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

13/27

 

よく分かる解説

解説1

表で解説

 

男の子 A 女の子 A



B
1
8 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3
4
5
6
7



B
21
22
23
24
25
26
27

 

上の表のように考えるとどちらか一人は男の子というのは27通りあることが分かります。

その中でどちらも男の子なのは13通りだけなので、13/27という答えになります。

この図を考えれば一発で理解できると思います。

解説2

数学的な計算

ここでは条件付き確率での解説をします。

条件付き確率の説明はこちらを参考にしてください。

この問題は、

二人いる子供のうち少なくとも一人は男の子で火曜日に生まれているとき、二人とも男の子である確率を求めてください

と書き直すと条件付き確率が考えやすくなると思います。

この条件付き確率を求めるために、

  1. 少なくとも一人は火曜日に生まれた男の子がいる確率
  2. 火曜日に生まれた男の子がいる、かつもう一人も男の子である確率

を求めます。

1の確率

(Aが火曜日に生まれた男の子である確率)+(Bが火曜日に生まれた男の子である確率)-(AもBも火曜日に生まれた男の子である確率)
=(1/7)×(1/2)+(1/7)×(1/2)-(1/14)²
=(1/14)+(1/14)-(1/196)
=27/196

2の確率

(Aが火曜日に生まれた男の子である確率×Bが男の子である確率)+(Bが火曜日に生まれた男の子である確率×Aが男の子である確率)-(AもBも火曜日に生まれた男の子である確率)
=(1/7)×(1/2)×(1/2)+(1/7)×(1/2)×(1/2)-(1/14)²
=(1/28)+(1/28)-(1/196)
=13/196

よって、求めたい確率は、

(13/196)/(27/196)=13/27

と条件付き確率を計算することによっても求められます。

まとめ

このように火曜日に生まれたという情報だけでも確率が変わってしまうのが確率の直感と反してしまうところです。

ほとんどの人が火曜日に生まれたことは確率に関係ないように感じると思います。

ちなみに、火曜日に生まれた事よりももっと低い確率である情報があると確率は1/2に近づきます。

例えば、1月にどちらか一人が5月5日に生まれた男の子であるという情報があるとします。

この情報は一週間のうちの火曜日よりも365日の内の一日なので情報としては低い確率であるといえます。

この場合条件付き確率の分子は、

(1/365)×(1/2)+(1/365)×(1/2)-(1/730)²
=1459/730²

となり、分母は、

(1/365)×(1/2)×(1/2)+(1/365)×(1/2)×(1/2)-(1/730)²
=729/730²

となるので求める確率は、

(729/730²)/(1459/730²)
=729/1459≒0.499657…

と13/27≒0.481481…よりも1/2に近づきます。

分母が大きいほど1/2に近づいていくというわけです。

そもそもなぜ1/2にならないかを考えると、AとBがいた時に少なくとも一人男の子がいると言われた時にAが男のパターンとBが男のパターンがあるからなんです。

なので、Aにもうこの人しかいない!という情報を与えることでAが誰かを確定させ、あとはBが男の子か女の子がだけの確率を考えれば良い状況にすれば、その確率は単純に1/2になるのです。

確率の直感に反する答えが出た時が一番面白いです。

そんなことないですか?

と今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね。

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