【面白い数学の問題】「誕生日が同じ人」 誕生日が夏休みなので祝われません

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は直観に反する問題になります。

この問題を知らない方はほとんどが信じられないと思います。

面白い問題なので、ぜひ挑戦してみてください!それでは

レッツゴー

問題

さっそく問題です。

誕生日が同じ人が2人以上いる確率が50%以上になるために必要な人数は最低で何人でしょうか?

うるう年は考えないとします。

何人?結構必要な気もする…

参考程度に自分の学校のクラスの人数なんかと比較してもいいかもしれませんよ。

ヒントはなしです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

23人

ほぇ?少なすぎやしませんか。

そう思うのも当然なんですが、これが数学が導いた答えなんです。

さっそく解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

皆さんは確率の問題で、少なくともと出たらこれ!みたいなのを習っているはずなんですが覚えていますか?

今回この子が大活躍してくれます。

その名も余事象くん。

求めかたは知らなくても大丈夫です。しっかり解説しますので安心してください。

余事象や確率について少しだけ解説しているので、こちらの記事も併せてご覧ください。

ネイピア数「e」って何やつ?複利と宝くじで軽く解説してみた【意外と身近に潜んでます】

余事象とは求めたい確率以外を求めて最後に1から引くというものです。

今回の場合、同じ誕生日の人がいる確率ではなく、同じ誕生日の人がいない確率を求めるんです。

2人の場合誕生日が被らない確率は、

(365/365)×(364/365)=364/365

になります。

これは、1人目の誕生日は何でもいいので365/365になり、2人目の誕生日は1人目の誕生日以外の誕生日にする必要があるので、その確率が364/365になるんです。

では3人の場合は?この場合、

(365/365)×(364/365)×(363/365)=(364×363)/365²

となります。

n人の場合、

(365/365)×(363×365)×・・・×(365-n+1/365)

となります。

また、これは誰も誕生日が被らない確率なので、最終的には1から引かなければなりません。

よって、n人の場合に誕生日が被る確率は、

1-(365/365)×(363×365)×・・・×{365-(n-1)/365}

となります。

n=22の時、0.476…
n=23の時、0.507…

となるので、23人いれば50%の確率で同じ誕生日の人がいることになります。

おまけ

n=70の時、0.999となりほとんどの確率で同じ誕生日の人がいることになります。

まとめ

直観的には100以上は必要そうなのに、100人いたらむしろ多すぎるくらいなんですね。

でも23人はあまりに少なすぎる気もしますが、数学様がおっしゃっているので間違いありません。

直観に反する系の問題の最初の驚き感が好きで今でも問題を漁るのが最近の楽しみになってます。

面白い問題があったらぜひ教えてください!

というわけで今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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