今回はビジュアルが面白そうな問題です。
ただ、問題の難易度は面白くないかもしれません。
難しいですが、解けると気持ちいい問題です。
さっそく問題にいってみましょう！それでは
レッツゴー
問題
上図のように正三角形10個で作られた平行四辺形があります。
この平行四辺形の面積は300㎠です。
ここで問題です。
青色部分の面積を求めてください。
見た目は面白そうですが使う知識は数学の相似やら面積比やら、ごりごりに数学です。
相似を思い出してこの問題を解いてみましょう。
ここから先に答えがあります。
答え
110㎠
よく分かる解説
図のような△ABCと△ADEを考えます。
赤線、EDとCBは平行なので、同位角を使って△ABC∽△ADEとなります。
ではその相似比はどうなるのでしょう。
CBは正三角形の1辺であり、ABは正三角形の辺が5つ分になっています。
よって、△ABCと△ADE相似比は5：1になります。
よって、ED＝1/5CBとなります。
これを、使って、
ED＝1/5CB
GF＝2/5CB
IH=3/5CB
KJ=4/5CB
となります。
また、この色のついた三角形は全て相似でありその相似比は左から順に、
1：2：3：4：5
となります。
一番左の小さい三角形の面積をSとすると、5つの三角形の面積は、
S、4S、9S、16S、25S
となります。
この結果は相似比と面積比の関係からです。
これらを足すと、
55Sとなります。
これは問題文の図、
この上の三角形でも同じことが言えるので、色のついている部分の面積は110Sとなります。
次に、1つの正三角形の面積をこのSを用いて表したいと思います。
上図の赤線と青線の比は、
赤線：青線＝5：1
となります。
よって、青色部分の面積は正三角形の5/6ということになります。
また、青色部分の面積は25Sだったので正三角形の面積をｘとすると、
25S＝ｘ×(5/6)
ｘ＝25S×(6/5)＝30S
となります。
よって平行四辺形の面積は正三角形10個分なので300Sとなります。
また平行四辺形の面積は300㎠なので、
300S＝300㎠
S=1㎠
と求まります。
よって、青色部分の面積は
111S＝111㎠
となります。
まとめ
ビジュアルに騙されて面白そうと思ったらまさかの難問でした。
ですがかなり面白い問題だと思いました。
使う知識も相似のみでその範囲を習った時なら解けていたという方も多いと思います。
今回解説が少し容赦ないかな。
と、今回は以上になります。それでは
ザ・エンドってね
関連記事
【面白い数学の問題】「長方形の周の長さ」 足し算ができれば解ける問題？
【面白い数学の問題】「正方形一つの面積」 ヒントは対角線のみ
コメント