【面白い数学の問題】星型の頂点の角度の合計は180°?証明してみよう

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は、星の頂点の角度の和についてです。

中学生の時の話なので、懐かしいと思いながら見ていってください。

当時は何も気にならなかったのですが、たまたま見かけたら気になったので証明してみようかと。

証明はいろいろなほうほうがありますが、今回は2つほど紹介します。

問題ではないので気軽に聞いてください!それでは

レッツゴー

星の頂点の角度

星の頂点の角度って聞いてもピンとはこないですよね。

僕も久しぶりに見て思い出しただけなので。

そもそも星の頂点の角度ってどんなものかというと、

このa、b、c、d、eが星の角度の頂点になります。

この和、つまり足したものが180°になるという公式があるんです。

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180

それがなぜなのかを証明してみたい!

そう思ってしまったので証明してみます。

証明

証明①

まず下図のように線を引き、必要な情報を書き加えます。

ここで、ちょうちょ型の角度の性質を思い出しましょう。

ちょうちょ型の角度の性質

上図のちょうちょ型の角度は、

∠a+∠b=∠c+∠d

のようになります。

これは、三角形ABEと三角形CDEで見た時に、対頂角eがそれぞれ等しいため、三角形の内角180°から対頂角eを引いた角度がそれぞれ等しいからです。

180-∠e=∠a+∠b(三角形ABE)
180-∠e=∠c+∠d(三角形CDE)

よって、
∠a+∠b=∠c+∠d

 

そして、下図でちょうちょ型の角度の性質を使うと、

 

∠b+∠e=∠c´+∠d´

ここで、三角形ACDを考えると、

∠a+∠c+∠c´+∠d+∠d´
=∠a+∠c+∠d+(∠c´+∠d´)=180(三角形の内角)

∠b+∠e=∠c´+∠d´より、

∠a+∠c+∠d+(∠b+∠e)
=∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180

Q.E.D言いたいだけ)

証明②

次は三角形の外角を使った方法です。

三角形の外角の性質

上図のような三角形の外角xは、

∠x=∠b+∠c

のようになります。

これは、∠a+∠xは直線なので、

∠a+∠x=180(直線)
180-∠a=∠x

となり、三角形の内角は180°なので、

∠a+∠b+∠c=180(三角形の内角)
180-∠a=∠b+∠c

よって、
∠x=∠b+∠c

 

ここで下図のような三角形FCDを考えます。

 

三角形FCDの外角である∠fは、

∠f=∠c+∠e(三角形の外角)

となります。同じよう三角形GBDで考えると、

∠g=∠b+∠d(三角形の外角)

となります。最後に三角形AFGの内角を考えると、

∠a+∠f+∠g
=∠a+(∠c+∠e)+(∠b+∠e)
=∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180

Q.E.D

まとめ

公式が何で成り立っているのかを考えるのは頭を使うのでおすすめです。

僕は単に楽しんでますが笑

今回紹介した証明にはまだまだたくさんの証明方法が存在しています。

考えてみると意外と面白いですよ。

また書く気が起きるか、ご要望があればやってみようかな。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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