今回はジュニア数学オリンピックから出題したいと思います。
この問題は論理クイズのように思えますが、しっかり数学の知識使う問題でかなり面白いです。
考え方次第では1分もかからずに解けてしまいます。
まずは問題を解き、その後は1分で解く考え方についても解説していきます。
それではさっそく問題にいってみましょう！
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問題
500以下の整数について以下のような特徴があることが分かっています。
- ちょうど3回だけ2で割り切れる
- ちょうど2回だけ3で割り切れる
- ちょうど1回だけ7で割り切れる
- 各位の数字の和は15になる
しかし、このうち1つだけは間違っていることが分かりました。
ここで問題です。
この整数は何でしょう？
さて、どう解くのが最適なのか分かりますか？
これを1分で解くにはどうすればいいのか、考えてみましょう。
ここから先に答えがあります。
答え
168
よく分かる解説
解説を始める前に、情報の使い方を整理しておきましょう。
- ちょうど3回だけ2で割り切れる
- ちょうど2回だけ3で割り切れる
- ちょうど1回だけ7で割り切れる
- 各位の数字の和は15になる
この、「ちょうど3回だけ2で割り切れる」とはどういうことか。
それは、求めたい整数の因数に2×2×2があるということです。
因数とは、何かの整数を細かい数字のかけ算にしたときにかけられる数のことです。
例えば21は、3×7となるので、3と7が因数になります。
つまり、ちょうど3回だけ2で割り切れるということは、
？＝2×2×2×…
となるということです。
さらに言うと、因数に8を持つということです。
8の倍数と考えることもできます。
これを解説では使うので覚えておいてください。
解説1
1つ1つ確かめて解く
まずはこの解き方を紹介します。
この解き方では、1，2，3，4で、1が間違っている場合、2が間違っている場合、と考えていく解き方になります。
まずは1が間違っている場合から考えます。
解説1
「ちょうど3回だけ2で割り切れる」が間違いの場合
この場合、それ以外の、2～4は正しいことになります。
- ちょうど3回だけ2で割り切れる ✕
- ちょうど2回だけ3で割り切れる
- ちょうど1回だけ7で割り切れる
- 各位の数字の和は15になる
よって、この整数は2回だけ3で割り切れて、1回だけ7で割り切れて、各位の数字の和が15になります。
まず、2回だけ3で割り切れて、7で1回だけ割り切れるので、9と7を因数に持ちます。
つまり、
？＝9×7×…
となります。
そして、「…」の部分には3と7、2×2×2は使えません。(2が3つ以外ならOK)
例えば、9×7×3にしてしまうと、3で3回割り切れてしまうから条件に当てはまりません。
9×7×2＝3×3×3×7
これはちょうど2回だけ3で割り切れることと矛盾してしまいます。
7や2×2×2(＝8)も同様に考えられます。
なので「…」の部分には3や7や8は入りません。
また、3を因数に持つ6(3×2)や、9(3×3)や、7を因数に持つ14(7×2)や、21(7×3)などもダメです。
これを考えると、「…」には2、4、5、11…などが考えられますが、11以上は入りません。
なぜなら、「…」が11の場合、
？＝8×7×11＝616
となり、500を超えてしまうからです。
求める整数は500以下なので500を超えてはいけません。
なので「…」に入るのは3か5です。
2の場合
？＝63×2＝126 1+2+6＝9
4の場合
？＝63×4＝252 2+5+2＝9
5の場合
？＝63×5＝315 3+1+5＝9
となります。
あとは最後の情報、「各位の数字の和は15になる」から、この場合は答えがないことが分かります。
解説1-2
「ちょうど2回だけ3で割り切れる」が間違いの場合
この場合、1，3，4が正しいことになります。
- ちょうど3回だけ2で割り切れる
- ちょうど2回だけ3で割り切れる ✕
- ちょうど1回だけ7で割り切れる
- 各位の数字の和は15になる
よって、この整数は3回だけ2で割り切れて、1回だけ7で割り切れて、各位の数字の和が15になります。
つまり、
？＝8×7×…
となります。
そして、「…」に入れるのは、3か5になります。
3の場合
？＝56×3＝168 1+6+8＝15 ○
5の場合
？＝56×5＝280 2+8+0＝10 ✕
よって、168は答えになります。
解説1-3
「ちょうど1回だけ7で割り切れる」が間違いの場合
この場合、1，2，4は正しいことになります。
- ちょうど3回だけ2で割り切れる
- ちょうど2回だけ3で割り切れる
- ちょうど1回だけ7で割り切れる ✕
- 各位の数字の和は15になる
よって、この整数は3回だけ2で割り切れて、2回だけ3で割り切れて、各位の数字の和が15になります。
つまり、
？＝8×9×…
となります。
「…」に入れるのは、5のみです。
？＝72×5＝360 3+6+0＝9 ✕
よって、この場合も答えになりません。
解説1-4
「各位の数字の和は15になる」が間違いの場合
この場合、1，2，3は正しいことになります。
- ちょうど3回だけ2で割り切れる
- ちょうど2回だけ3で割り切れる
- ちょうど1回だけ7で割り切れる
- 各位の数字の和は15になる ✕
よって、
？＝8×9×7×…
となりますが、この場合8×9×7＝504と、この時点で500を超えるので答えになりません。
よって、答えは168のみとなります。
解説2
ここからはもっとスマートに解く方法を解説します。
それは、1～4の情報の2と4に注目することです。
- ちょうど3回だけ2で割り切れる
- ちょうど2回だけ3で割り切れる
- ちょうど1回だけ7で割り切れる
- 各位の数字の和は15になる
2の情報が正しければ因数に9を持つことになります。
ここで、9の倍数の特徴を知っているとかなり楽に解けます。
その9の倍数の特徴とは、9の倍数の数字は各位の数字の和が9の倍数になるということです。
例えば、9×9＝81は、8+1＝9と９の倍数に、9×99＝891は8+9+1＝18でこれも9の倍数になります。
これを知っていると、2と4の情報のどちらかは必ず間違いであることに気付けます。
なぜなら、各位の数字の和が15ということは、9の倍数ではない。
つまり、2の情報が正しいなら4は必ず間違いに、4の情報が正しいなら２の情報は必ず間違いになります。
ということは、1と3の情報が正しいということになります。
よって、
？＝8×7×…＝56×…
になります。
ここで、2が正しい場合はこれに9をかけることになります。
しかし、56に9をかけると、56×9＝504と500を超えてしまいます。
つまり、2が正しい場合500を超えるので、2は間違いであることが分かります。
よって正しいのは1，3，4の3つであることになります。
まとめると、
？＝56×…
各位の数字の和が15
という値を求めることになります。
そして「…」に入れる数字は、3か5になります。
後はこの2つを計算すれば良いです。
56×3＝168 1+6+8＝15 ○
56×5＝280 2+8+0＝10 ✕
よって答えは、168になります。
まとめ
今回の問題は、2と4の情報の矛盾を見抜き、8×9×7が500を超えることに気付けばかなり楽に解くことができるという問題でした。
これなら暗算が少し得意という方であれば紙もペンもなしで解くことも可能ですね。
数学オリンピックの問題もしっかり考えれば案外解ける問題が多くて楽しいので是非いろいろ挑戦してみてください！
というわけで今回は以上になります。それでは
ザ・エンドってね
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