【面白い数学の問題】「4つの2桁の整数は?」 数学オリンピックに挑戦!【数学オリンピック】

面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は、

数学オリンピックの問題に挑戦してみましょう。

何度目かの数学オリンピックの問題ですが、今回の問題もかなり面白いのでぜひ解いてみてほしいです。

それではさっそく今日の問題にいってみしょう!

レッツゴー!

問題

2桁の整数が4つあります。

それぞれの数同士の和と差を全て書くと、大きい方から以下のようになりました。

93、83、81、49、47、46、44、37、34、12、10、2

ここで問題です。

4つの2桁の整数はそれぞれ何になるでしょうか?

 

最初の方針は案外考えやすいと思います。

ですが途中に何個か詰まるところが出てきます。

この問題を解くことで、解決する方法を見つけた時の気持ちよさをぜひ味わってみてください!

ちなみに、和と差は足し算、引き算の計算結果のことです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

65、28、18、16

 

よく分かる解説

 

93、83、81、49、47、46、44、37、34、12、10、2

見やすいように、2桁の整数の和と差を書いておきます。

解説1

A+B=93、A+C=83、B-C=10

 

まずは4つの2桁の整数を大きい方からA、B、C、Dとしておきましょう。

すると、

A+B=93

になります。

これは当然で、1番大きい数字+2番目に大きい数字を足せば、和の中で一番大きい数字になります。

次に、

A+C=83

になります。

これは、A+CとA+Dを比べると、Aは同じなのでDより大きいCを足しているA+Cの方が大きくなり、

A+CとB+Cでは、Cが同じなのでBより大きいAを足しているA+Cの方が大きくなります。

よって、A+Cが2番目に大きいことになります。
(それ以外は明らかにA+Cより小さい。B+DやA-Dなど)

ここから、A+BとA+CはAが同じなので93と83の差である10はBとCの差になります。

BからCに変わったことで、10減ったと考えられるからですね。

つまり、

B-C=10

となります。

9383、81、49、47、46、44、37、34、12、10、2

解説2

A≧47、A+D=81、B-D=12、C-D=2

 

また、A+B=93から、Aは47以上(A≧47)であることが分かります。

これはAが46以下の場合を考えてみると分かりやすいです。

例えば、A=46だった場合、

46+B=93
B=47

になり、AよりBの方が大きくなります。

今、Aが一番大きい数字として考えているので、AよりBの方が大きくなってはいけません。

よって、Aは47以上になります。

ここから、

A+D=81

ということが分かります。

なぜかというと、ここまでで余っている数字は、

81、49、47、46、44、37、34、12、2

です。

A+D=81ではない場合、A+D=49が一番大きいですが、A≧47なので、A+D=49だとDが2桁になりません。

今回は、A~Dは全て2桁の整数を考えているのでこれはありえません。

よって、A+D=81になります。

A+B=93とA+D=81を比べると、12減っているので、

B-D=12

となります。

また、A+C=83とA+D=81を比べると2減っているので、

C-D=2

となります。

938381、49、47、46、44、37、34、12102

 

解説3

AとBCDの特徴(偶数、奇数)

 

さて、ここまでで残っているのは、

49、47、46、44、37、34

の6つです。

この6つが、

A-B、A-C、A-D、B+C、B+D、C+D

のどれかになります。

ここで、

A+B=93
A+C=83
A+D=81

の3つから、Aが奇数ならBCDは偶数、Aが偶数ならBCDは奇数になります。

奇数同士、偶数同士の足し算は偶数になるからですね。

つまり、A+(BorCorD)、A-(BorCorD)の答えは全て奇数になります。

ここで、残りの6つを見てみると、奇数が3つあります。

この3つがA-B、A-C、A-Dの3つになるということになります。

そしてこの3つは、A-Dが一番大きく、A-Bが一番小さいので、

A-D=49
A-C=47
A-B=37

になります。

A+B=93とA-B=37を足すと、

(A+B)+(A-B)=2A=130
A=65

と、Aが求まります。

あとは、A+B、A+C、A+Dのに65を代入して、

65+B=93
B=28

65+C=83
C=18

65+D=81
D=16

となるので、

A=65、B=28、C=18、D=16

と4つの2桁の整数が求まります。

 

まとめ

今回の問題で、4つの2桁の整数をABCDのように文字で考えるという方針は立てれた人も多かったのではないでしょうか。

つまづきポイントは、81がA+DかB+Cかというところと、12個の候補から6個まで絞った後の、Aとの和と差は全て奇数になるという気付きの部分だと思います。

そこに気付かなくても、解く方法はあります。

それは、C-D=2に注目して、

49、47、46、44、37、34

の6個の候補から差が2のものを探します。

今回なら49、47と46、44ですね。

この2つにはCとDが関わっているはずです。

つまり、

A-C、A-D B+C、B+D

のどちらかが49、47 46、44になります。

あとはどちらも試せば解けます。

どちらにしても、ここが一番気付けば気持ちいいポイントだという事です。

皆さんは気付けたでしょうか。

というわけで今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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