皆さん「3×3魔方陣」ってご存知でしょうか？
なんだかかっこいい響きのこれ、実は算数で出てくるものなんです。
算数といっても堅苦しいものではなく、3×3の9マスに1～9を入れて、縦、横、斜めの足した数字が同じになるものを「3×3魔方陣」といいます。
例えば下のようなものが「3×3魔方陣」です。
| 6 | 1 | 8 |
| 7 | 5 | 3 |
| 2 | 9 | 4 |
4×4の16マスの場合は4×4魔方陣となります。
今回は「3×3魔方陣」は1組しか存在しないことを証明していきます。
この記事を読む前に1度解いてみても面白いですよ。それでは
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目次
3×3魔方陣
まずは3×3魔方陣のもととなる9マスの正方形を書きます。
この9マスの中に1～9の数字を入れていきます。
入れる条件として縦、横、斜めに足したときの数が同じになるようにします。
また、以下の２つは回転させると同じ並びになるので、パターンとして１つと数えます。
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
⤵に90度回す
| 7 | 4 | 1 |
| 8 | 5 | 2 |
| 9 | 6 | 3 |
また、
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
これを裏返したもの
| 3 | 2 | 1 |
| 6 | 5 | 4 |
| 9 | 8 | 7 |
これも同じものと見なします。
さて、ここで問題です。
この3×3魔方陣が成り立つ時1～9の数字はどのようにマスに入るでしょう。
また、組み合わせは本当に1通りしかないのでしょうか？
これを考えていきます。
よく分かる解説
| A | B | C |
| D | E | F |
| G | H | I |
この先便利なのでマスにアルファベットを割り振っておきます。
1列の合計を求める
まずは縦、横、斜めに足したものがどんな数になるのかの検討をつけましょう。
1～9を足すと
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
45÷3＝15
なのでなんとなく15になりそうなイメージですね。
これを証明します。
上のマスで横の数を足し合わせた数は同じになるので
A＋B＋C＝D＋E＋F＝G＋H＋I
になります。
またA~Iまでは1～9の数字が入るので、
A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I＝45
となります。
A＋B＋C＝D＋E＋F＝G＋H＋I
より
A＋B＋C＝D＋E＋F
A＋B＋C＝G＋H＋I
なので、
A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I＝(A＋B＋C)＋(A＋B＋C)＋(A＋B＋C)＝3×(A＋B＋C)＝45
つまり
A＋B＋C＝15
となります。
1列を足し合わせると15になることがこれで分かりました。
中央の数字を求める
| A | B | C |
| D | E | F |
| G | H | I |
次に中央を含む縦、横、斜めを足し合わせてみます。
すると
縦
B＋E＋H＝15
横
D＋E＋H＝15
斜め
A＋E＋I＝15
C＋E＋G＝15
この4つを全て足し合わせると
B＋E＋H＋D＋E＋H＋A＋E＋I＋C＋E＋G＝60
これを並び替えると
(A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I)＋3E＝60
45＋3E＝60
3E＝15
E=5
よって中央の数字は5になることが分かりました。
１は角には入らない
| A | B | C |
| D | 5 | F |
| G | H | I |
次は角のA、C、G、Iのいずれにも1が入らないことを証明します。
証明方法として今回は背理法というものを使います。
背理法のやり方は、一旦角に1が入ると仮定して計算してみます。
そうすると角が1では計算が合わない部分が出てきます。
なので最初の仮定、角に1が入るというのが間違っていたということになります。
そこから角に1は入らないということがいえるという証明方法です。
また、今回は魔方陣を回転させたものを同じに見なしますので、角ならどこに1を入れて計算しても大丈夫です。
角に1が入らないことの証明
Aに1が入ると仮定します。
すると、斜めに足し合わせたものは15になるので、Iには9が入ることになります。
| 1 | B | C |
| D | 5 | F |
| G | H | 9 |
1行目を計算すると
1＋B＋C＝15
また、3列目を計算すると
C＋F＋9＝15
ここで、9マスに入れる数字のうち1と9は既に入っています。
なのでBに入る数字はどれだけ大きくても（最大で）8になります。
同じように、Fに入る数字はどれだけ小さくても（最小で）2になります。
なので、
15＝1＋B＋C≦1＋8+C
また、
15＝C＋F＋9≧1＋2＋C
となります。
これを計算すると
C≧6
C≦4
となります。
しかし4以下で6以上なんて数字はありません。
よって角に1がくるという仮定がそもそも間違っていたことになります。
これで角に1が入らないことを証明できました。
あとは数字を埋めるだけ
ここまでで数字は三つ埋まりました。
あとはこれをもとに数字を埋めていきましょう。
| A | 1 | C |
| D | 5 | F |
| G | 9 | I |
まずはAとCについて。
AとCには（6、8）または（8、6）のどちらかが入ります。
ここで思い出してほしいのが、マスを裏返したものは同じに見なせるということです。
つまり
| 8 | 1 | 6 |
| D | 5 | F |
| G | 9 | I |
と
| 6 | 1 | 8 |
| D | 5 | F |
| G | 9 | I |
は同じものとして見なせます。
なのでどちらに6を入れても良いということです。
今回はAに6を、Cに8を入れて考えてみます。
| 6 | 1 | 8 |
| D | 5 | F |
| G | 9 | I |
次にGは斜めに足し合わせたものが15になるので
8＋5＋G＝15
よりG＝2
同じように
I＝4
| 6 | 1 | 8 |
| D | 5 | F |
| 2 | 9 | 4 |
次に縦に足したものも同じく15になるので
6＋D＋2＝15
より
D＝7
同じように
F＝3
| 6 | 1 | 8 |
| 7 | 5 | 3 |
| 2 | 9 | 4 |
とすべての数字が求まりました。
以上から3×3魔方陣はこの1種類に定まります。
お疲れさまでした。
まとめ
どうでしたか、ちょっと大変ですが分かると楽しい問題だと思います。
こんな問題ばっかならもっと数学が楽しくなるのに。
分かりにくい点などありましたら質問どんどん送ってください。
今回は以上です。それでは
ザ・エンドってね
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