【面白い数学の問題】数学の3×3魔方陣はたった1つしか存在しない?証明してみよう

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

皆さん「3×3魔方陣」ってご存知でしょうか?

なんだかかっこいい響きのこれ、実は算数で出てくるものなんです。

算数といっても堅苦しいものではなく、3×3の9マスに1~9を入れて、縦、横、斜めの足した数字が同じになるものを「3×3魔方陣」といいます。

例えば下のようなものが「3×3魔方陣」です。

 

6 1 8
7 5 3
2 9 4

 

4×4の16マスの場合は4×4魔方陣となります。

今回は「3×3魔方陣」は1組しか存在しないことを証明していきます。

この記事を読む前に1度解いてみても面白いですよ。それでは

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

3×3魔方陣

まずは3×3魔方陣のもととなる9マスの正方形を書きます。

 

 

この9マスの中に1~9の数字を入れていきます。

入れる条件として縦、横、斜めに足したときの数が同じになるようにします。

また、以下の2つは回転させると同じ並びになるので、パターンとして1つと数えます。

 

1 2 3
4 5 6
7 8 9

 

⤵に90度回す

 

7 4 1
8 5 2
9 6 3

 

また、

 

1 2 3
4 5 6
7 8 9

 

これを裏返したもの

 

3 2 1
6 5 4
9 8 7

 

これも同じものと見なします。

さて、ここで問題です。

この3×3魔方陣が成り立つ時1~9の数字はどのようにマスに入るでしょう。

また、組み合わせは本当に1通りしかないのでしょうか?

これを考えていきます。

よく分かる解説

 

A B C
D E F
G H I

 

この先便利なのでマスにアルファベットを割り振っておきます。

1列の合計を求める

まずは縦、横、斜めに足したものがどんな数になるのかの検討をつけましょう。

1~9を足すと

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

45÷3=15

なのでなんとなく15になりそうなイメージですね。

これを証明します。

上のマスで横の数を足し合わせた数は同じになるので

A+B+C=D+E+F=G+H+I

になります。

またA~Iまでは1~9の数字が入るので、

A+B+C+D+E+F+G+H+I=45

となります。

A+B+C=D+E+F=G+H+I

より

A+B+C=D+E+F

A+B+C=G+H+I

なので、

A+B+C+D+E+F+G+H+I=(A+B+C)+(A+B+C)+(A+B+C)=3×(A+B+C)=45

つまり

A+B+C=15

となります。

1列を足し合わせると15になることがこれで分かりました。

中央の数字を求める

 

A B C
D E F
G H I

 

次に中央を含む縦、横、斜めを足し合わせてみます。

すると

B+E+H=15

D+E+H=15

斜め

A+E+I=15

C+E+G=15

この4つを全て足し合わせると

B+E+HD+E+HA+E+IC+E+G=60

これを並び替えると

(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+3E=60

45+3E=60

3E=15

E=5

よって中央の数字は5になることが分かりました。

1は角には入らない

 

A B C
D 5 F
G H I

 

次は角のA、C、G、Iのいずれにも1が入らないことを証明します。

証明方法として今回は背理法というものを使います。

背理法のやり方は、一旦角に1が入ると仮定して計算してみます。

そうすると角が1では計算が合わない部分が出てきます。

なので最初の仮定、角に1が入るというのが間違っていたということになります。

そこから角に1は入らないということがいえるという証明方法です。

また、今回は魔方陣を回転させたものを同じに見なしますので、角ならどこに1を入れて計算しても大丈夫です。

角に1が入らないことの証明

Aに1が入ると仮定します。

すると、斜めに足し合わせたものは15になるので、Iには9が入ることになります。

 

1 B C
D 5 F
G H 9

 

1行目を計算すると

1+B+C=15

また、3列目を計算すると

C+F+9=15

ここで、9マスに入れる数字のうち1と9は既に入っています。

なのでBに入る数字はどれだけ大きくても(最大で)8になります。

同じように、Fに入る数字はどれだけ小さくても(最小で)2になります。

なので、

15=1+B+C≦1+8+C

また、

15=C+F+9≧1+2+C

となります。

これを計算すると

C≧6

C≦4

となります。

しかし4以下で6以上なんて数字はありません。

よって角に1がくるという仮定がそもそも間違っていたことになります。

これで角に1が入らないことを証明できました。

あとは数字を埋めるだけ

ここまでで数字は三つ埋まりました。

あとはこれをもとに数字を埋めていきましょう。

 

A 1 C
D 5 F
G 9 I

 

まずはAとCについて。

AとCには(6、8)または(8、6)のどちらかが入ります。

ここで思い出してほしいのが、マスを裏返したものは同じに見なせるということです。

つまり

 

8 1 6
D 5 F
G 9 I

 

 

6 1 8
D 5 F
G 9 I

 

は同じものとして見なせます。

なのでどちらに6を入れても良いということです。

今回はAに6を、Cに8を入れて考えてみます。

 

6 1 8
D 5 F
G 9 I

 

次にGは斜めに足し合わせたものが15になるので

8+5+G=15

よりG=2

同じように

I=4

 

6 1 8
D 5 F
2 9 4

 

次に縦に足したものも同じく15になるので

6+D+2=15

より

D=7

同じように

F=3

 

6 1 8
7 5 3
2 9 4

 

とすべての数字が求まりました。

以上から3×3魔方陣はこの1種類に定まります。

お疲れさまでした。

まとめ

どうでしたか、ちょっと大変ですが分かると楽しい問題だと思います。

こんな問題ばっかならもっと数学が楽しくなるのに。

分かりにくい点などありましたら質問どんどん送ってください。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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