今回は中学生でも解ける面白い数学の問題を持ってきました。
使う知識は全て中学のうちに習うものになります。
その公式の使いどころさえ分かれば気持ちよく解ききれると思います。
それではさっそく問題にいってみましょう！
レッツゴー
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問題
以下のような式があります。
2019+x²＝y²
xとyには3桁の自然数が入ります。
ここで問題です。
この式を成り立たせるためのxとyの値を求めてください。
さあ、どうやって解いていきましょうか。
勘で解くのはほぼ不可能です。
式を立てて根拠を持って考えていきましょう。
自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。 
ヒント
ヒント1
2019＝y²-x²
式を変形して2019＝y²-x²にしましょう。
そうすると見えてくるものがあるはず！
ラストヒント
2019＝(y－x)(y+x)
次は因数分解です。
y²-x²＝(y－x)(y+x)
と因数分解をしましょう。
あとは当てはまる数字を試すだけ！
ここから先に答えがあります。
答え
x＝335
y＝338
よく分かる解説
解説1
式を変形し因数分解
まず、問題の式をこのように変形します。
2019＝y²－x²
ここで登場するのが皆さん大好きな因数分解くんです！
この式は以下のように因数分解できます。
y²－x²＝(y+x)(y－x)
つまりこんな式になります。
2019＝(y+x)(y－x)
(y+x)(y－x)はかけ算なので、2019を掛け算の形にします。
2019は、
「1×2019」、「2019×1」、「3×673」、「673×3」
「-1×(-2019)」、「-2019×(-1)」、「-3×(-673)」、「-3×(-673)」
の8通りがあります。
しかし今回はxとyには3桁の自然数が入るので、
y-xよりもy+xの方が大きいのは明らかです。
そして、y+xは必ず0より大きいです。
つまりy+xはマイナス(負の数)にはなりません。
このことから、(y+x)(y－x)は、
2019×1 673×3
この2通りしかありません。
この2つを考えていきましょう。
まず、2019×1からです。
解説2
(y+x)(y－x)＝2019×1の場合
y+x＝2019・・・①
y-x＝1・・・②
というこの連立方程式を解きます。
①－②をして、
2x＝2018
x＝1009
これはxが3桁の自然数であることを満たさないのでふさわしくありません。
よって、(y+x)(y－x)＝2019×1ではないということになります。
解説3
(y+x)(y－x)＝673×3の場合
y+x＝673・・・①
y-x＝3・・・②
この連立方程式を解いていきます。
①-②をして、
2x＝670
x＝335
これを②に代入して、
y-335＝3
y＝338
となります。
そしてこれはxとyが3桁の自然数になっているのでふさわしいと言えます。
よって、
x＝335
y＝338
がこの問題の答えになります。
まとめ
お疲れ様でした。
2019＝y²－x²から因数分解を思い付きさえすれば解けたのではないでしょうか。
その後も簡単ではありませんが。
因数分解はいろんな問題で出てくる面白いやつなので形を覚えておくといいかもしれません。
というわけで今回は以上になります。それでは
ザ・エンドってね
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