【面白い数学の問題】「20枚の扉」 開いているか閉まっているか

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は数学を使う問題を一つ。

今回の問題は、分かってみれば簡単ですが、思いつくのは少し難しいと思います。

さっそく問題にいってみましょう。それでは

レッツゴー

 

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問題

今閉じている扉が20枚があり、20人の人がいます。

扉と人には1~20番の番号がふられています。

人は自分の番号の整数倍の番号の扉を,開いている場合には閉めて,閉まっている場合には開けます。

1番の人は自分の整数倍、つまり1~20番まで全ての扉を開けます。

その後、2番の人は2,4,6,8…20番の扉を閉めます。

その後、3番の人は3の扉は閉めて、6番の扉は開けて、9番の扉は閉めて…18番の扉は開けます。

これを20番の人まで繰り返します。

ここで問題です。

20番目の人がこの手順を行った後に開いている扉は何枚あるでしょうか?

という問題です。

気付くべきことに気付けば、10秒で解けちゃうような問題です。

さあ、どうやって解くのか。

頑張って20回この手順を繰り返せばいつかは辿りつけそうですが、なんとか楽に解きたいものです。

数学はいかに楽をするかの学問だと思っていますので。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

4枚

さっそく解説パートにいきましょう。

よく分かる解説

解説①

気付き①:扉の番号の約数の番号の人が扉を開閉する

まず開いている扉が1つは簡単に分かります。

それは1番の扉です。

なぜなら、1番の扉は1番の人が開けた後、誰にもなにもされないからです。

2の整数倍は2から始まって、3の整数倍は3で始まっていくので、当然っちゃ当然です。

次に2番の扉はどうでしょうか。

2の扉は1番の人が開けて、2番の人が閉めます。

よって閉まっています。

3番の扉は、1番の人が開けて、3番の人が閉めます。

よって閉まっています。

4番の扉は、1番の人が開けて、2番の人が閉めて、4番の人が開けます。

よって4番の扉は開いています。

つまり、扉の番号の約数の数だけ扉が開閉されるということです。

なぜなら、扉の番号の約数の番号の人が扉を開閉しているからです。

  • 1の約数:1のみ
  • 2の約数:1と2
  • 3の約数:1と3
  • 4の約数:1と2と4

解説②

気付き②:約数が奇数個なら扉は開いている

では、扉が開いているのはどんな番号かというと、扉の番号の約数の数が奇数個だということです。

解説③

気付き③:ある数の2乗になっていれば約数は奇数個になる

ここが一番大事です。

どいうことかというと、例えば1は1の2乗、4は2の2乗ですよね。

あと、9は3の2乗で、16は4の2乗です。

ではなぜ、ある数の2乗なら約数は奇数個なのでしょうか?

それは約数の性質を見れば理解できます。

15という数で考えてみましょう。

15の約数は、

1,3,5,15

です。

これって、

1×15=15

3×5=15

と、中心に向かって、端っこ同士を掛けてやると元の数になるんですよ。

 

 

これは、約数を考えるときにも役立つ技術です。

まあ、15が3を約数に持つなら、その対となるものがあるはずなので、当然と言えば当然なんですが。

ここで、ある数の2乗の数字はどうか。

4を例に考えてみましょう。

4の約数2に注目してください。

2の対になるべきものは2です。

また、約数は同じものは入らないので、2が1つ存在するのみとなります。

 

 

よって、ある数の2乗の数字は約数を奇数個しか持ちません。

なので、今回の問題は1,4,9,16番目の扉が開いていることになるので、4枚という答えになりました。

まとめ

今回は、数学チックな問題でしたね。

約数と2乗の数、皆さんは気付けましたか?

10秒でひらめけた方はかなりすごいと思います。

ちょっとした頭の体操や、友達に問題として出して楽しんでください。

そんな問題をたくさん書いていきたいと思います。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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