今回は1+1=2を解説していこうと思います。
これが意外と難しいということを聞いたことがある人もいるんじゃないでしょうか。
確かに簡単とは言えないですが、分かってしまえばどうということはありませんよ。
そもそも1+1=2なんて誰でも分かるので、ここで大事なのは+をどう定義するかや、1や2をどう定義するかさえできれば終わりです。
今回はできるだけ分かりやすく書いていこうと思います。それでは
レッツゴー
目次
自然数を定義する
ここでペアノの公理というものを使います。
証明する予定が無い人はこんな語句は覚えなくても大丈夫です。
このペアノの公理で何が定義できるかというと、自然数というものです。
ここでの自然数は0,1,2,3,4,・・・のような馴染みのある数字たちです。
まずは公理を書いていきます。
公理2 任意の自然数aにはその後者(successor)、suc(a)が存在する
公理3 0はいかなる自然数の後者でもない
公理4 異なる自然数は異なる後者を持つa≠bのときsuc(a)≠suc(b)となる
公理5 0がある性質を満たし、aがある性質を満たせばその後者suc(a)もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす
これがペアノの公理です。
これを見て理解できた方は、次までとばしても大丈夫です。
ここから公理を一つづつ説明していきます。
公理1 自然数0が存在する
これはそのままですね。
自然数は１からと習っている人は少し混乱するかもしれません。
今回のペアノの公理では自然数に0を含めるんだなと思って頂ければ大丈夫です。
公理2 任意の自然数aにはその後者(successor)、suc(a)が存在する
これは難しく書かれているだけで、言っていることは簡単です。
自然数aの後者というのは一つ次の自然数のことになります。
0の次は1、１の次は2というようになります。
suc(0)=1、suc(1)=2
公理3 0はいかなる自然数の後者でもない
これは0より前には自然数が無いことを示しているだけです。
公理4 異なる自然数は異なる後者を持つa≠bのときsuc(a)≠suc(b)となる
suc(0)とsuc(1)が同じ値をとらないのは分かりますよね。
0の次の数字と1の次の数字が同じにならないということを全ての数字で成り立つことを示しています。
それさえ分かっていれば大丈夫です。
公理5 0がある性質を満たし、aがある性質を満たせばその後者suc(a)もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす
これもややこしそうですね。
これは、公理2を使ってsuc(0)=1のように次の数字が求まるなら、ずっと次の自然数が求まっていくというのを示しています。
分かりづらければ、0,1,2,3,・・・と自然数が続いていくことをこの公理で示していると思ってください。
加法（足し算）を定義する
ここまでのペアノの公理を満たした自然数で加法を次のように定義します。
- 全ての自然数aに対してa+0=a
- 全ての自然数a、bに対してa+suc(b)=suc(a+b)
まず一つ目のは分かりますよね。
自然数aに0を足してもaのままになります。
次に、aとbに関しては例を挙げると、aとbが1と3だったとすると、
1+suc(3)=suc(4)=5
となり成り立っています。
証明開始
ここで1と2を定義します。
suc(0)=1、suc(1)=2
と定義します。
a=suc(0)、b=0とすると加法の定義から、
suc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)=suc(1+0)=suc(1)=2
となります。
ここで、suc(0)=1なので、この式は
suc(0)+suc(0)=1+1=2
となります。
よって1+1=2が証明されました。
まとめ
証明は一瞬でしたね。
1+1=2は定義さえ終わればすぐなんですよ。
どうでしょうか。
我々は、1も２も習っているので、1+1=2なんて当たり前です。
ですが、１も２も分からなかった場合この様に定義していきながら、証明していきます。
また、定義が変われば１や２でなくても成り立っていくのですが、この世では１と２で決まっただけのことです。
違う世界線で、suc(0)=2、suc(2)=1と定義されていれば、2+2=1になっているわけです。
面白くないですか？
誰がどんな数字を定義したかでこの世の算数の答えは全く違ったんですよ。
雑談はこの辺にしておきますが。
今回は1+1=2の証明でした。
数学って実は面白いですよ。今回は以上！それでは
ザ・エンドってね
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コメント
≪…数学の考え方でなぜ「1+1=2」…≫を、〇 と ▫ の ［なぞり逢い］の和平交渉の結果として、【π】を受け入れるコトだ。
自然数の計量単位は、【1】 ［ある自然数］（ｎ）は、
［ある自然数］／［計量単位』
（ｎ）／（1）
自然数の計量単位は、1／（ｎ）を掛けた（×）モノが、【1】に生る（戻る）コトとする。
これを計量単位【π】に置き換えると。
【π】から観た計量単位は、1／【π】を掛けた（×）モノとできる。
これを、円周（2π） と 半径（1） の繋がりに照らし合わせて、
計量単位【π】から観れば、
円周（ 2π×（1／π）） と 半径（ 1×（1/π））
計量単位【π】を 〇 と ▫ の ［なぞり逢い］の操作数（1回）で共通させると、半径の1回転を（1/π）とすると、
数学思考の行為（操作数（１回転））で観ると、
1 から 2 へと進み行く自然数が『眺望』できる。
数を数えるコトは、操作数（時間）を獲得したコトに生る。
この物語の源流は、絵本「もろはのつるぎ」（有田川町ウエブライブラリー）
≪…1+1=2…≫を円環と正方形の遊び方に学ぶ
◇点〇に触れてて√2と
〇を抱く□の辺は2に生ると
□1カタチの数は√2
１ ⇒ √2 □の辺の角が、〇に触れる （〇の中に遊ぶ（回転できる）□）
2 ⇒ 2√2 □の辺の真ん中が、〇に触れる（〇の外に遊ぶ（回転できる）□）
遊ぶ（操作する）で捉えると、√2の係数が、≪…1+1=2…≫を提示している。
□と〇の群的思考（神話論理）で、数学の順序的構造を想う・・・
１（□の辺） ⇒ √2（□の対角線）
2(□の辺） ⇒ 2√2（□の対角線）
√2の二等辺三角形の高さは、底辺と 1：2 である。
≪…1+1=2…≫を【レンマ学】的｛HHNI眺望］から3冊の絵本で・・・
絵本「哲学してみる」
絵本「わのくにのひふみよ」
絵本「もろはのつるぎ」