【面白い数学の問題】なぜ1+1=2の証明が難しい?解説してみた

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は1+1=2を解説していこうと思います。

これが意外と難しいということを聞いたことがある人もいるんじゃないでしょうか。

確かに簡単とは言えないですが、分かってしまえばどうということはありませんよ。

そもそも1+1=2なんて誰でも分かるので、ここで大事なのは+をどう定義するかや、1や2をどう定義するかさえできれば終わりです。

今回はできるだけ分かりやすく書いていこうと思います。それでは

レッツゴー

自然数を定義する

ここでペアノの公理というものを使います。

証明する予定が無い人はこんな語句は覚えなくても大丈夫です。

このペアノの公理で何が定義できるかというと、自然数というものです。

ここでの自然数は0,1,2,3,4,・・・のような馴染みのある数字たちです。

まずは公理を書いていきます。

ペアノの公理
公理1 自然数0が存在する
公理2 任意の自然数aにはその後者(successor)、suc(a)が存在する
公理3 0はいかなる自然数の後者でもない
公理4 異なる自然数は異なる後者を持つa≠bのときsuc(a)≠suc(b)となる
公理5 0がある性質を満たし、aがある性質を満たせばその後者suc(a)もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす

これがペアノの公理です。

これを見て理解できた方は、次までとばしても大丈夫です。

ここから公理を一つづつ説明していきます。

公理1 自然数0が存在する

これはそのままですね。

自然数は1からと習っている人は少し混乱するかもしれません。

今回のペアノの公理では自然数に0を含めるんだなと思って頂ければ大丈夫です。

公理2 任意の自然数aにはその後者(successor)、suc(a)が存在する

これは難しく書かれているだけで、言っていることは簡単です。

自然数aの後者というのは一つ次の自然数のことになります。

0の次は1、1の次は2というようになります。

suc(0)=1、suc(1)=2

公理3 0はいかなる自然数の後者でもない

これは0より前には自然数が無いことを示しているだけです。

公理4 異なる自然数は異なる後者を持つa≠bのときsuc(a)≠suc(b)となる

suc(0)とsuc(1)が同じ値をとらないのは分かりますよね。

0の次の数字と1の次の数字が同じにならないということを全ての数字で成り立つことを示しています。

それさえ分かっていれば大丈夫です。

公理5 0がある性質を満たし、aがある性質を満たせばその後者suc(a)もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす

これもややこしそうですね。

これは、公理2を使ってsuc(0)=1のように次の数字が求まるなら、ずっと次の自然数が求まっていくというのを示しています。

分かりづらければ、0,1,2,3,・・・と自然数が続いていくことをこの公理で示していると思ってください。

加法(足し算)を定義する

ここまでのペアノの公理を満たした自然数で加法を次のように定義します。

  • 全ての自然数aに対してa+0=a
  • 全ての自然数a、bに対してa+suc(b)=suc(a+b)

まず一つ目のは分かりますよね。

自然数aに0を足してもaのままになります。

次に、aとbに関しては例を挙げると、aとbが1と3だったとすると、

1+suc(3)=suc(4)=5

となり成り立っています。

証明開始

ここで1と2を定義します。

suc(0)=1、suc(1)=2

と定義します。

a=suc(0)、b=0とすると加法の定義から、

suc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)=suc(1+0)=suc(1)=2

となります。

ここで、suc(0)=1なので、この式は

suc(0)+suc(0)=1+1=2

となります。

よって1+1=2が証明されました。

まとめ

証明は一瞬でしたね。

1+1=2は定義さえ終わればすぐなんですよ。

どうでしょうか。

我々は、1も2も習っているので、1+1=2なんて当たり前です。

ですが、1も2も分からなかった場合この様に定義していきながら、証明していきます。

また、定義が変われば1や2でなくても成り立っていくのですが、この世では1と2で決まっただけのことです。

違う世界線で、suc(0)=2、suc(2)=1と定義されていれば、2+2=1になっているわけです。

面白くないですか?

誰がどんな数字を定義したかでこの世の算数の答えは全く違ったんですよ。

雑談はこの辺にしておきますが。

今回は1+1=2の証明でした。

数学って実は面白いですよ。今回は以上!それでは

ザ・エンドってね

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