【面白い数学の問題】「1~nを足すと…?」 総和の公式はこうして作られた!かもしれない

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は総和の公式を導いていただこうと思います。

総和の公式はこうやって作られたと思いますが詳しくは知りません。

というわけでやってきました、

あの公式(定理)はどうして使えるの?第4弾!

第1弾~第3弾はこちら。

【一目で分かる!】図で解説。なぜ円の面積の公式は「半径×半径×円周率(π、3.14)」なのか

【お勉強】「存在感はないから焦点を当ててやるの巻」 こんな公式あったっけ?

【お勉強】「円周角の定理の証明」 円周角はなぜ使えるか考えたことありますか?

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

 

YouTubeでも動画を投稿していますので是非ご覧ください!

問題

1,2,3,4,…n

までを足し合わせると、

(1/2)×n×(n+1)

となります。

例えば、1~4を足し算していくと、

1+2+3+4=10

となり、(1/2)×n×(n+1)に当てはめると、

(1/2)×4×(4+1)=10

となります。

ここで問題です。

1~nまでを足し合わせた数が(1/2)×n×(n+1)で表せることを説明してください。

 

説明という言葉を使いましたが、証明問題に近いです。

証明問題と言っても相手が納得できれば良いくらいの説明でOKです。

解説もそのようになっています。

堅苦しい証明はしません。

今回の問題は難しい計算は出てきません。

考え方がほとんどな問題で、使う知識は小学生までに習うものだけで解けます。

1~4や1~10など具体的な数でまずは試してみながら考えてみましょう。

今回はヒントはなしです。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え&よく分かる解説

解説1

偶数の場合

皆さんは1~10の足し算をするときにどのように考えるでしょうか?

1から順に足していっても良いですが、もっと良い方法があります。

それが、端から足していくという方法です。

どういうことかというと、1~10の場合、

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

1+10=11
2+9=11
3+8=11
4+7=11
5+6=11

のように端から足していくと、全て同じ数(今回は11)になります。

これが5個あるので、

11×5=55

となります。

これの特徴は、端を足すと同じ数になること、そして同じ数が5個あったことです。

ではこの5個という数に注目してみます。

なぜ5個あったかというと1~10を、

1,2,3,4,5 | 6,7,8,9,10

のように真ん中で分けると、10(最後の数字)の半分である5個分端を足すことができる、ということが分かります。

これをnで考えると端の足し算は、

1+n

となり、これが何個あるかというとn個の半分、(1/2)×n個あることになります。

これをかけ合わせたものが1~nを足し合わせたものになります。

よって、

(1+n)×(1/2)×n
=(1/2)×n×(n+1)

となります。

これで終わり!

 

...

 

ではありません!

解説2

奇数の場合

これができるのは足し合わせる数が偶数の時だけです。

例えば1~9までを足し合わせることを考えてみます。

先ほどのように端から足していくと、

1,2,3,4,5,6,7,8,9

1+9=10
2+8=10
3+7=10
4+6=10
5

と、5が余ります。

なぜなら奇数個の場合は真ん中で分けられないからです。

1,2,3,4 | 5 | 6,7,8,9

このように真ん中の数字が余ってしまいます。

出は奇数個の時はどのような計算が必要なのかを考えてみましょう。

まず、端の数字の計算は変わらず、

1+n

で良いです。

これが何個あるかというと、1~9の場合は9個から1個無くせば数字が8個になるので、解説1の方法を使い端の計算が4個あることになります。

1~9の場合、(9-1)×(1/2)=4個となります。

1~nの場合は、(1/2)×(n-1)個と考えることができます。

そして、真ん中の数字は1~9の場合は(1+9)の半分で5です。

1~nの場合は、(1/2)×(1+n)となります。

よって、奇数個の場合は、

(1+n)×(1/2)×(n-1)+(1/2)×(1+n)
=(1/2)×(1+n)×(n-1+1)
=(1/2)×n×(n+1)

(1+n)×(1/2)×(n-1)+(1/2)×(1+n)
=(1/2)×(1+n)×(n-1+1)

になる理由

A×B+B×Cのように+の左と右で同じものがあった場合、

B×(A+C)

のように同じものを外に、それがかけ算されているものを()の中に入れて計算することができます。

(1+n)×(1/2)×(n-1)+(1/2)×(1+n)×1
と考え、
(1/2)×(1+n)×(n-1+1)

と同じものでくくるという計算ができます。

まとめ

このように総和の公式を習った時に自分で考えてみるということが覚えることにもつながるように思います。

なぜこの公式が成り立っているのか?

これを考えるのは面白いですよ。

と、書いているこの辺りであの公式はなぜ使えるの企画の存在に気付きました。

今回は総和の公式についてでした。

いままでよりお勉強感は少ないかと思います。

今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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