【面白い数学の問題】1=2ってそんなわけないやろ!ないよな…?アンサイクロペディアからの挑戦!

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

 

皆さん!1=2が証明されました!

..

...

信じてないんですか?

いやいや、アンサイクロペディアというサイトを見てきてくださいよ。

証明されたって書いてあるじゃないですか。

 

んーでも、でもよく見ると怪しいような...

証明が正しいかしっかり確認していきましょうかね。それでは

レッツゴー

1=2の証明

ここからの引用は全て

アンサイクロペディア:1=2

からの引用です。

四捨五入を利用した証明

 

四捨五入を利用した証明[編集]

1.45を小数第2位で四捨五入すると 1.5

これを小数第1位で四捨五入すると 2 ……A

一方、1.45を小数第1位で四捨五入すると 1 ……B

A、Bより

1.45 = 1 = 2

これはそもそも=の使い方が全くだめですよね。

だって、1.45=1じゃないですもん。

このように、=で結んではいけないものを結んでしまったがために起きた悲劇ですね。

これは正しくありません。

あまりを利用した証明

あまりを利用した証明方法[編集]

3 ÷ 2 = 1 あまり 1
5 ÷ 4 = 1 あまり 1

2つとも答えが同じなので

5 ÷ 4 = 3 ÷ 2

両辺に4を掛けて

5 ÷ 4 × 4 = 3 ÷ 2 × 4

整理すると

5 = 6

両辺から4を引くと

5 – 4 = 6 – 4
1 = 2

1あまり1で答えが同じ?

そんなわけあるか!と言いたいですが、何が違うのでしょうか。

これは、あまった1を2で割るか4で割るかの違いがあります。

なので、答えが変わってしまい、=で結べないということになります。

あとは、小数を習った後なら、値が違うので、正しくないことにも簡単に気付けると思います。

これも正しくありません。

足し算を利用した証明

たし算を利用した証明方法[編集]

0 = 0 + 0 + 0 + … = (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + …
= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …
= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + …
= 1 + 0 + 0 + 0 + …
= 1

このことから

0 = 1

両辺に1を足して

1 = 2

これは少し難しいですが、無限に足していくものは、順番を変えちゃいけないやつが存在するんですよ。

これはそのパターンです。

なので、答えがおかしくなっちゃったんです。

なのでこれも正しくありません。

かけ算を利用した証明

かけ算を利用した証明方法1[編集]

0 = 0

0に何を掛けても0なので

1 × 0 = 2 × 0

両辺を0で割り

1 = 2

はい、出ましたねこれ。

皆さんはマネしちゃだめですよ。

数学界のタブー

0で割る

が出てしまいました。

失礼いたしました。

これも正しくありません。

わり算を利用した証明

わり算を利用した証明方法[編集]

0 = 0

0 ÷ 1, 0 ÷ 2は共に0であるからして、

1 = 2

これは、0で割っているわけではありません。

じゃあ何がダメなのか。

これは、さっきまでみたいに=で結んでよって話なんですよ。

この例でみると、

0/1=0/2

として、この式を変形して1=2にもっていけているなら、証明できたことになりますが、違いますよね?

下の1と2を無理やり=で結んだだけです。

こんなもの証明でも何でもありません。

だって下の数字はなんでもいいんですから。

なのでこれも正しくありません。

9で割る証明

9で割る証明法[編集]

1 ÷ 9 を計算すると
1 ÷ 9 = 0.1111111111111…

両辺に9を掛けると

1 = 0.9999999999999…

さらに両辺に10000000000000…を掛けると

9999999999999… = 10000000000000…

両辺から999999999…を引くと

0 = 1

両辺に1を足して

1 = 2

さらに両辺に10000000000000…を掛けるって何なんでしょうか。

こんな数字はないですし、仮にこのような無限に続く数字を掛けるなら、

1×∞=0.9999999999999…×∞
∞=∞

とかになるんじゃないでしょうか。

というか、存在しない数を掛けないでください。

これも正しくありません。

初等代数を利用した証明1

初等代数を使った証明1[編集]

b = a

とする。この両辺に a を足すと

a + b = 2a

両辺から 2b を引くと

a – b = 2a – 2b
(a – b) = 2(a – b)

両辺を (a – b) で割ると

1 = 2

何がダメなのか分かりますか?

これは巧妙に隠したつもりでしょうが、0で割っちゃってます。

なぜならa=bなら、a-bは0でしょう?

そしてこの1文

両辺を (a – b) で割ると

です。

これも正しくありません。

初等代数を利用した証明

初等代数を使った証明2[編集]

b = a

とする。この両辺に a をかけると

=ab

両辺から を引くと

=ab

因数分解して

(a – b)(a + b) = b(a – b)

両辺を (a – b) で割ると

a + b = b

両辺からbを引いて

a = 0

両辺をaで割って1を足すと

2=1

両辺を入れ替えて

1=2

先ほどと同じようにこれも0で割っちゃってます。

なのでこれも正しくありません。

ひき算を利用した証明

ひき算を利用した証明[編集]

1 – 3 = 4 – 6

両辺に 9/4 を加えると

式を変形すると

両辺を因数分解して

両辺の平方根をとって

両辺に3/2 を加えると

1 = 2

これは平方根をとる場合には±を付けなければいけないことに気付けるかどうかです。

これ、忘れる人が多いので、気を付けるようにしましょう。

この例では

1-3/2=-1/2、2-3/2=1/2

で+か-かの違いが出てきてしまっています。

これも正しくありません。

零乗を利用した証明

零乗を利用した証明1[編集]

1^0=2^0

1=1

よって1=2

これも、わり算を利用した証明と同じく、0乗なら後の数字は何でも良いことになってしまうので、証明したことになりません。

よってこれも正しくありません。

連立方程式を利用した証明

連立方程式を利用した証明[編集]

次のような連立方程式がある。

(A) × 4 + (B) より

0 = -1

両辺に 2 を加えると

2 = 1

両辺を入れ替えて

1 = 2

連立方程式なのに、連立されてないじゃーん。

フィクションは本だけにしとけよー。

(A)はx=4で、(B)はx=17/8なので、連立できてないです。

これも正しくありません。

電卓を利用した証明

電卓を利用した証明[編集]

1÷3 = 1/3

また、電卓によると、1÷3 = 0.3333333 = 3333333/10000000

よって、1/3 = 3333333/10000000

両辺を通分して

10000000/30000000 = 9999999/30000000

両辺に30000000をかけて

10000000 = 9999999

両辺から9999998を引いて反対にすると

1 = 2

これは、電卓で計算したから電卓の限界の桁で数字が止まってだけです。

本来は、0.33333…と無限に続くので、通分しようにもできません。

なぜできないのかは、9で割る証明と同じ理由です。

これも正しくありません。

絶対値を利用した証明

絶対値を利用した証明[編集]

1/2=|1/2|より

|±1/2|=1/2より

両辺に3/2を加えると

1 = 2

これは絶対値の意味を完全に間違ってます。

絶対値取った後は負の数にはなりません。

間違って覚えないように気を付けましょう。

|1/2|≠-1/2

です。

これも正しくありません。

階乗を利用した証明

階乗を使った証明[編集]

0! = 1!

両辺を!で割って

0 = 1

両辺に1を足すと

1 = 2

いやいや、!で割るってなんだ笑

!は計算方法みたいなもので、これは×で割るとか、+で割るとか言ってるくらいとんちんかんですよ。

ちなみに0!が1のなる理由はこちらで解説しています。

「0!ってなんで1なのよ!0のはずやん!1になるのは気に入らん!」まぁまぁこれでも見てよ。

これも正しくありません。

組み合わせを利用した証明方法

組み合わせを利用した証明方法[編集]

3個のものから1個を選ぶ組み合わせは

3C1 = 3 通り ……A

3個のものから2個を選ぶ組み合わせは

3C2 = 3 通り ……B

A,B より、1個選んでも2個選んでも変わらないので 1=2 である。

場合の数が同じなので、1=2は横暴すぎますね。

これもわり算を利用した証明と同じく、4C14C3でも、なんでもいけちゃうのでダメです。

これも正しくありません。

背理法を利用した証明

背理法による証明[編集]

1 ≠ 2

と仮定する。両辺に0を掛けると、

0 ≠ 0

これは明らかに誤りである。つまり仮定も誤りとなる。従って

1 = 2

背理法の中に論理的な考えが無さすぎます。

0≠0って何ですか?

この1文がおかしすぎます。

≠を使いたいだけになってるんですもん。本来なら、

1 ≠ 2

と仮定する。両辺に0を掛けると、

0 =0

となって、なにも矛盾してないことが分かると思います。

これも正しくありません。

最大値を利用した証明

最大値を使った証明[編集]

すべての整数の中で最大のものを A とおく。一般に、

A + 1 ≧ A

A は最大の整数だから、

A ≧ A + 1

ゆえに

A = A + 1

両辺から A-1 を引くと

1 = 2

整数の中で最大の数を見つけたなら教えてほしいものです。

それを記事に書けたら数学界がえらい騒ぎになりますよ。

というわけで、これは無限にある整数の最大値が分からない時点で、証明に使っちゃダメです。

最大の整数があることを証明したなら使えばいいですよ。

これも正しくありません。

∞を利用した証明1

∞を使った証明1[編集]

∞に1を足すと∞になる。

∞ + 1 = ∞

また、∞に2を足しても∞になる。

∞ + 2 = ∞

つまり、

∞ + 1 = ∞ + 2

両辺から∞を引いて

1 = 2

∞を数字のように扱わないでください。

∞から∞を引くなんて今の数学界では定義できていません。

なので両辺から∞を引くなんて無謀なことはしないように。

これも正しくありません。

∞を利用した証明2

∞を使った証明2[編集]

1 ÷ 0 = ∞

これはy=1/xのグラフより明らか。よって、

0 × ∞ = 1

なので、

(0 × ∞) + (0 × ∞) = 2結合法則により、
(0 + 0) × ∞ = 2
0 × ∞ = 2

左辺は1なので

1 = 2

1行目から0で割ってます。

間違いです。

これも正しくありません。

一次関数を利用した証明

一次関数を使った証明[編集]

直線 y = 2xを考える。

関数は従属変数と独立変数が1対1対応しているので、x座標の数とy座標の数は等しい。…①

また、このグラフでは定義域[0,1]において値域は[0,2]である。…②

①②より、幅が1の区間と幅が2の区間に存在する点の数は等しい。

よって、1 = 2

これもわり算を利用した証明のように、y=〇xの〇の部分を変えたらなんでもいけちゃいます。

y=4xなら、1=4にもなりますし。

これも間違いになります。

これも正しくありません。

三角関数を利用した証明

三角関数を使った証明[編集]

また、

よって

両辺のsinをとって

これに3をかけてπで割れば

1 = 2

「sinをとって」…だと…

そんなことができるわけがないです。

とったとしても、

π/3≠2π/3

ですので、1=2にはなりません。

これも正しくありません。

対数を利用した証明

対数を使った証明[編集]

よって、2 = 3

両辺から1を引いて、1 = 2

これもわり算を利用した証明のように、底さえ変えればなんでもいけてしまいます。

これも正しくありません。

この辺で終わりにしましょうか。

まとめ

最後まで見た方はお疲れ様でした。

どうでしたか?

この、何が何でも1=2にしてやろう感が結構面白くないですか?

皆さんも1=2を証明できそうなものを探してみるのも楽しいですよ。

また、アンサイクロペディアにはまだまだ1=2の証明が載っているので見てみてください。

ですが、僕が書いたところから先はかなり内容が難しいと思います。

1=2を証明できた!という方はコメント欄に書いてみてください!

今回は以上です。それでは!

ザ・エンドってね

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