【面白い数学の問題】「0!ってなんで1なのよ！0のはずやん！1になるのは気に入らん！」

今回は数学でのあるあるお悩み、0!はなんで0じゃなくて1のなるの！？です。

そういうものだ、といえばそれまでですが、0!＝1にもちゃんと理由があるんだよということを説明してみました。

これを見て超すっきり！とはならないかもしれませんが…

しかし、原理を知っておくことは役に立つのでぜひ一度見ていってください！それでは

レッツゴー

1 さっきからなんで驚いてんの？
2 関係なさそうな順列やら組み合わせやら
- 2.1 先生に聞いてみた
- 2.2 0!＝1を説明する前に
  - 2.2.1 順列パーミュテーションP
  - 2.2.2 組み合わせ・コンビネーションC
3 本題：なぜ0!＝1なのか
- 3.1 そうでないと困るから
4 まとめ
5 関連記事

さっきからなんで驚いてんの？

そもそも！ってなに？って方もいらっしゃるのではないでしょうか？

「!」は数学で使われる記号で、階段みたいに数字を掛けていくやつなんです。

まずはこの謎の記号「！」の説明からいってみましょう。

例：4!の場合

この場合、

4!＝4×3×2×1＝24

になります。

また4!は4の階乗と発音します。

じゃあ1!はどうなるか。

ここはそのまま、

1!＝1

になります。

ここで例のあいつがややこしいことをしてくるんです。

そう諸悪の根源、

です。

感覚的には0!＝0になりそうなのになぜか1になる。

そんなふしぎちゃんの0!の解説にいってみよう。

関係なさそうな順列やら組み合わせやら

先生に聞いてみた

僕はこれが気になったときに先生に聞いてみました。すると、

「1になると数学の世界で決まっているんだから覚えなさい。」

って言われたんですよ。まぁそうなんだけど、そうじゃない！

ということでいろいろ自分で調べてみることにしました。

結論としては0!＝1でないと困るからなんですが、なぜ困るのか説明していきたいと思います。

0!＝1を説明する前に

そもそも!ってどこで見たか覚えていますか？

基本的に高校で初めてこれを見るのは並べ替えの問題のはずです。

順列のPや、組み合わせのCは覚えていますか？

少し復習してみましょう。

ここでタイムスリップしていきましょう。

順列パーミュテーションP

まずは、パーミュテーションPを用いた式から。

この式はn人の中からk人選んで一列に並べた時の全てのパターンが何通りあるのかを計算してくれています。

この式を使えば、5人の中から3人を選んで一列に並べる場合、これが何通りあるかが計算ですぐに分かります。

nには5を、kには3をいれて

このようになります。

これはパーミュテーションの公式ですので、式の答えは当然一致しますね。

次に組み合わせ、コンビネーションCの説明をしていきます。

組み合わせ・コンビネーションC

例として5人の中から3人を選ぶ場合は、コンビネーショCを用いて

となり、10通りになるわけです。

これも一般化してみましょう。

この式はn人の中からk人の人を選ぶ時の全てのパターンが何通りあるのかを計算してくれています。

これも文字に数字を入れると、

となります。これはコンビネーションCの公式になりますので、答えも一致します。

順列のほうが数が大きいのはなんで？

コンビネーションCは5人の中から3人を選ぶだけなのに対して、

パーミュテーションPは5人の中から3人を選んで、かつ、その順番も考慮しているからです。

分かりやすくするために5人から5人を選んだ時を考えてみましょう。

組み合わせのCでは1通りしかありません。

それに対して順列Pでは5人がどの順番で並ぶかも考えるので当然その通りは多くなります。

ここまでが準備です。お疲れの方は一休憩入れましょう。