【面白い数学の問題】「0!ってなんで1なのよ!0のはずやん!1になるのは気に入らん!」

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面白い数学の問題

皆さんアッシェンテ!

今回は数学でのあるあるお悩み、0!はなんで0じゃなくて1のなるの!?です。

そういうものだ、といえばそれまでですが、0!=1にもちゃんと理由があるんだよということを説明してみました。

これを見て超すっきり!とはならないかもしれませんが…

しかし、原理を知っておくことは役に立つのでぜひ一度見ていってください!それでは

レッツゴー

さっきからなんで驚いてんの?

そもそも!ってなに?って方もいらっしゃるのではないでしょうか?

「!」は数学で使われる記号で、階段みたいに数字を掛けていくやつなんです。

まずはこの謎の記号「!」の説明からいってみましょう。

例:4!の場合

この場合、

4!=4×3×2×1=24

になります。

また4!は4の階乗と発音します。

じゃあ1!はどうなるか。

ここはそのまま、

1!=1

になります。

ここで例のあいつがややこしいことをしてくるんです。

そう諸悪の根源、

0!

です。

感覚的には0!=0になりそうなのになぜか1になる。

そんなふしぎちゃんの0!の解説にいってみよう。

関係なさそうな順列やら組み合わせやら

先生に聞いてみた

僕はこれが気になったときに先生に聞いてみました。すると、

「1になると数学の世界で決まっているんだから覚えなさい。」

って言われたんですよ。まぁそうなんだけど、そうじゃない!

ということでいろいろ自分で調べてみることにしました。

結論としては0!=1でないと困るからなんですが、なぜ困るのか説明していきたいと思います。

0!=1を説明する前に

そもそも!ってどこで見たか覚えていますか?

基本的に高校で初めてこれを見るのは並べ替えの問題のはずです。

順列のPや、組み合わせのCは覚えていますか?

少し復習してみましょう。

ここでタイムスリップしていきましょう。

順列パーミュテーションP

まずは、パーミュテーションPを用いた式から。

この式はn人の中からk人選んで一列に並べた時の全てのパターンが何通りあるのかを計算してくれています。

 

この式を使えば、5人の中から3人を選んで一列に並べ場合、これが何通りあるかが計算ですぐに分かります。

nには5を、kには3をいれて

このようになります。

これはパーミュテーションの公式ですので、式の答えは当然一致しますね。

次に組み合わせ、コンビネーションCの説明をしていきます。

組み合わせ・コンビネーションC

例として5人の中から3人を選ぶ場合は、コンビネーショCを用いて

となり、10通りになるわけです。

これも一般化してみましょう。

この式はn人の中からk人の人を選ぶ時の全てのパターンが何通りあるのかを計算してくれています。

これも文字に数字を入れると、

となります。これはコンビネーションCの公式になりますので、答えも一致します。

順列のほうが数が大きいのはなんで?

コンビネーションCは5人の中から3人を選ぶだけなのに対して、

パーミュテーションPは5人の中から3人を選んで、かつ、その順番も考慮しているからです。

分かりやすくするために5人から5人を選んだ時を考えてみましょう。

組み合わせのCでは1通りしかありません。

それに対して順列Pでは5人がどの順番で並ぶかも考えるので当然その通りは多くなります。

ここまでが準備です。お疲れの方は一休憩入れましょう。

本題:なぜ0!=1なのか

そうでないと困るから

これを先生に言われた人もいるでしょう。

でも実際はそうなんですよ。

ではなぜ困るのか。それを説明してくれない。

なので、それを説明していきます。

超勘のいい人はお気づきかもしれません。

ここまでの準備で考えたことを思い出していきましょう。

順列と組み合わせの一般化した式を思い出してください。

順列Pの場合

組み合わせCの場合

こんな式でした。

じゃあ、n=kの場合ってどうなると思いますか?

実際に入れてみましょう。

今回はn=k=5の場合を考えてみます。

まずは最初のやり方から。

順列Pの場合

組み合わせCの場合

になります。これを一般化した式で考えると

順列Pの場合

組み合わせCの場合

になります。やっと出てきました0!

ここで、順列と組み合わせのn=k=5を入れた二つの式を比べたときに答えは同じにならないとおかしいですよね?

順列

値は同じにならないとおかしい!

 

組み合わせ

値は同じにならないとおかしい!

値が同じなら

0!は1にならないと困る!

だから、

0!=1

になるんです。

つまり、

「0!を計算して1になった」ではなく、「式の中で出てきたときに1でないとおかしくなる」から1になった

これが正しい解釈です。

ご理解いただけたでしょうか。

まとめ

0!=1になったのは計算ではなく、式の都合上の理由だったのです。

先生もそれを早く教えてくださいよ。こんなに困ることもなかったのに...

でも、困ったときにちゃんと調べる力はついたので、そこは感謝ですね。

今回は0!=1について書いていきましたが、何かわからない点や、それは違うだろといった指摘もお待ちしております。

僕は数学者ではないので、間違っていることも全然ありますので。それでは今回はここまで。

ザ・エンドってね

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