【面白い数学の問題】「ポーカーの役の確率」 確率のことを好きになろう!

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カードゲーム

皆さんアッシェンテ!

今回はポーカーの役という身近な確率で、確率のことを好きになろうというテーマでやっていきます!

確率ってさいころとかじゃんけんとかばっかで飽きちゃいませんか?

なのでたまには全く違ったもので確率の計算でもして、確率って楽しいものなんだと実感してほしいのです。

ポーカーを知らない方も大丈夫!

ポーカーの役をすべてお教えします。

この記事を見れば明日からポーカーの役で迷いません。

それどころかポーカーの役の確率も知っている人になれます!

さっそく問題にいってみましょう!それでは

レッツゴー

問題

さっそく問題です。

ポーカーの役の確率を求めてください。

ただし、トランプはジョーカーを抜いた52枚として、カードの交換はないものとします。

 

問題はこれだけですね。

ではポーカーの役一覧から役の確認をしていってください。

ポーカーの役一覧

強い順に紹介していきます。

ロイヤルストレートフラッシュ

この役はポーカーの最強の役です。

この役は同じマークで10,J,Q,K,Aからなる役です。

ストレートフラッシュ

この役は同じマークで10,J,Q,K,A以外のカードが順番に並んでいる役になります。(1,2,3,4,5でもOK)

ただし、10,J,Q,K,AなどのKを超えた循環は認めないとします。(ルールによりますがほとんどはこのルールが採用されてます)

フォーカード

この役は同じ数字が4枚ある役になります。

フルハウス

この役は3枚がじ数字(スリーカード)と同じ数字が2枚(ワンペア)の組み合わさった役になります。

フラッシュ

この役は同じマークのカードが5枚あり、順番がばらばらの役になります。

ストレート

この役はマークがばらばらで、カードが順番に並んでいる役になります。

ただし、10,J,Q,K,AなどのKを超えた循環は認めないとします。

スリーカード

この役は3つが同じ数字+その他の2枚はばらばらな役になります。

ツーペア

この役は同じ数字2枚が2セットある役になります。

ワンペア

この役は同じ数字2枚が1セットだけの役になります。

ノーペア

これは何の役も成立していないものになります。

通称ブタです。

 

これでポーカーの役は全てです。

それでは確率を求めていきましょう。

 

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

一つづつ解説していきます。

その前に、52枚の中から5枚配られる場合の数を求めましょう。

これは、コンビネーションCを用いて、

52C5=2598960

となります。

ロイヤルストレートフラッシュ

ロイヤルストレートフラッシュは、マークが同じで10,J,Q,K,Aとなるような役でした。

これができるのは1つのマークにつき1つしかできません。

トランプにはマークが4つあるので、ロイヤルストレートフラッシュができるのは4通りになります。

よってロイヤルストレートフラッシュができる確率は、

4/2598960=1/649740≒1/65000(約0.00015%)

となります。

ストレートフラッシュ

こちらは1つのマークにつき、

A,2,3,4,5~9,10,J,Q,Kの9通りがあるので、4マーク分で36通りがあります。

よってストレートフラッシュができる確率は、

36/2598960=3/216580≒1/70000(約0.0014%)

となります。

フォーカード

こちらは、A4枚からK4枚までの13通りがあり、その他の1枚はフォーカードができる4つの同じカード以外の48枚から選ばれるので、

13×48=624

と、624通りあります。

例えばAが4枚のフォーカードなら、4枚のAとそれ以外の48枚からどれかが選ばれるといった感じです。

よってフォーカードができる確率は、

624/2598960=1/4165≒1/4000(約0.024%)

となります。

ここからはかなり現実的な確率になります。

フルハウス

これを例に考えると、4枚ある8から3枚選んで、4枚ある9のうちから2枚選ぶので、その場合の数は、

4C3×4C2=24

また、9が3枚の場合もあるのでこれを2倍して48通りが8と9でできるフルハウスの場合の数です。

次に考えるのは、13の数字がある中から2種類の数字を選ぶ(例は1~Kの中から8と9を選んでいる)場合の数です。

これは13の中から2つを選ぶので、

13C2=78

となるので、フルハウスができる場合の数は、

48×78=3744

となります。

よってフルハウスができる確率は、

3744/2598960=6/4165≒1/700(約0.14%)

となります。

フラッシュ

これは1つのマークで13枚あるのでその中から5枚選ぶ場合の数、

13C5=1287

マークは4つあるので、4倍して5148通りとなります。

がしかし、ここで注意です。

これにはロイヤルストレートフラッシュとストレートフラッシュの場合も含まれてしまっています。

なので、その分を引きましょう。

5148-40=5108

と、これがフラッシュができる場合の数です。

よってフラッシュができる確率は、

5108/2598960=1277/649740≒1/500(約0.20%)

となります。

ストレート

数字が5つ並ぶので、4枚ある数字の中から1枚選ぶを5回繰り返すので、

4⁵=1024

また、数字がAから始まるものから10から始まるものまでを考えるので10通りあります。

1024×10=10240

これにはロイヤルストレートフラッシュとストレートフラッシュができる場合も含まれてしまっているので、

10240-40=10200

これがストレートができる場合の数です。

よってストレートができる確率は、

10200/2598960=5/1274≒1/250(約0.39%)

となります。

スリーカード

4つある数字の中から3つを選んで、その数字以外の48枚から2枚を選ぶ場合の数は、

4C3×48C2=4512

となり、これが13の数字分あるので、

4512×13=58656

となり、これにはフルハウスが含まれてしまっているので、その分を引いて

58656-3744=54912

これがスリーカードができる場合の数です。

よってスリーカードができる確率は、

54912/2598960=88/4165≒1/47(約2.11%)

となります。

ツーペア

4枚ある数字の中から2枚選ぶを2回と、その数字以外の44枚から1枚選ぶ場合の数は、

4C2×4C2×44=1584

となり、2つのペアが13個ある数字の中から2種類を選ぶので、

13C2×1584=123552

これがツーペアができる場合の数です。

よってツーペアができる確率は、

123552/2598960=198/4165≒1/21(約4.75%)

となります。

ワンペア

まずは4枚ある数字の中から2枚を選び、その数字以外の48枚から1枚、次のそれ以外の44枚の中から1枚、またそれ以外の40枚の中から1枚を選ぶ場合の数は、

4C2×48×44×40=506880

となります。

ここで注意なのが、今の計算ではペアになる2枚以外の順番を考慮してしまっているので3!で割らなくてはいけません。

AA123
AA132
AA213
AA231
AA312
AA321

この6つは同じであると見なせるためです。

3!はみペア以外の3枚の並びが3!通りあるからです。

また、数字は13種類あるのでワンペアができる場合の数は、

506800×13/3!=1098240

となります。

よってワンペアができる確率は、

1098240/2598960=352/833≒1/2.4(約42.3%)

となります。

ノーペア

これは今までの場合の数を総数2598960から引いた数がノーペアの場合の数になります。

これは余事象の考え方です。

ノーペアの場合の数は、

2598960-(4+36+624+3744+5108+10200+54921+123552+1098240)
=1302540

となります。

よってノーペアになる確率は、

1302540/2598960=1277/2548≒1/2(約50.1%)

となります。

まとめ

どうでしたか?

意外とこの問題は確率で見落としそうな点があって役に立ちますよ。

やらされるだけでなくて興味を持ったことを自分で調べてみるということをやってみると数学が好きなると思います。

本当は数学って面白いんです!

思いの丈を叫んだところで今回は以上になります。それでは

ザ・エンドってね

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