今回は3人の年齢当てに挑戦してみましょう。
この問題の答えは1つしかありません。
答えが分かった人はそれ以外の答えが無いことの説明を考えてみてください。
ここまで分かって100点です！
さっそく問題にいってみましょう！それでは
レッツゴー
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問題
あるところにABCの3人がいました。
3人の年齢は小さい順にABCでした。
この3人の年齢は全員が素数(※¹)でした。
また、B－A、C－A、C－Bも全て素数でした。
ここで問題です。
3人の年齢は何歳でしょうか？
※¹素数とは1とそれ自身でのみ割り切れる数字のことです。
例えば4などは1と4以外にも2で割り切れてしまうので素数ではありません。
5などは1と5以外に割り切れる数字が無いので素数です。
頑張って答えになる数字を探していきましょう。
素数表を検索して活用してみても良いですよ。
今回はヒントを出しますので参考にしてみてください。
自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。 
ヒント1
2以外の偶数の素数は存在しない
2以外の偶数、例えば4や6などは1とそれ自身の数字と必ず2で割り切れてしまいます。
なので2以外で偶数となる素数は存在しません。
ラストヒント
素数は3つ連続しなくなる
素数は7を超えると3つ連続しなくなります。
ここでの連続とは偶数を抜いた数です。
例）7,9,11など
例えば11、13は素数ですがその前後9や15は素数ではありません。
9、11、13 または 11、13、15と素数が続くことはありません。
なぜなら3つ連続するとその中に必ず3の倍数が存在してしまうからです。
3の倍数ということは3で割り切れてしまうので素数ではありません。
9,10,11,12,13,14,15
見てみると分かりやすいですが、3の倍数は2つ置きにあります。
当たり前ではあるんですがいざ考えるとなると思いつきにくいものです。
ここから先に答えがあります。
答え
2歳、5歳、7歳
今回の問題はこの答えしかあり得ません。
ではなぜそれ以外の答えが存在しないのか、その解説にいってみましょう。
よく分かる解説
答えとなる年齢を年下順でA、B、Cと表しておきます。
解説1
2歳が必ず存在する
問題から分かっていることを書き出してみましょう。
- A、B、C：素数・・・①
- B－A：素数・・・②
- C－A：素数・・・③
- C－B：素数・・・④
これが今わかっている情報です。
ヒント1から2以外の素数は全て奇数であることが分かっています。
ここでA、B、Cが全て奇数だとして考えてみると②、③が成り立たなくなってしまいます。
なぜなら奇数－奇数は必ず偶数になるからです。
例えばABCがそれぞれ11、13、15だとすると、
(15は例として出しただけで素数ではありません)
C－A＝15－11＝4
となってしまいます。
そしてC－Aの計算結果は必ず4以上の偶数になります。
4以上の偶数に素数はないので問題にある「3人の年齢の差も全て素数」を満たしません。
つまり、
ABCを全て奇数に設定したことがそもそも間違いであるということになります。
(この解き方を背理法といいます)
ABCの中に唯一偶数で素数である2が存在することが分かりました。
よってA=2です。
また、BとCの差は2であることも確定します。
それ以上離れてしまうと差が4以上になり素数にならないからです。
解説2
B＝5、C＝7以外は答えにならない
あとはBとCが連続していて、素数なら解決！
ではありません。
ここで活きてくるのがラストヒントの素数は3つ連続しなくなるというものです。
例えばBとCが11と13だった場合を考えてみましょう。
C－Aは必ず素数になります。
なぜならA＝2と求まった今、C－AはBと同じ数字になるからです。
C－A＝13－2＝11＝B
ではB－Aはどうなるでしょうか？
B－A＝11－2＝9
となります。
9は3の倍異数なので素数ではありません。
今回はたまたま3の倍数になったのでしょうか？
そうではありません。
B－Aは必ず3の倍数になります。
なぜなら(B－2)、B、Cは3つ連続で並んでいるからです。
ラストヒントでも書きましたがこの3つの中に必ず3の倍数が存在します。
では答えが存在しないのか？
もちろん答えは存在します。
B－Aは必ず3の倍数になるなら、3の倍数であり素数でもある3が答えになればよいのです。
B－A＝B－2＝3
となれば良いということが分かります。
よってBは5、Cは7と求まります。
まとめ
論理的に考えていくと答えは1つしかないことが証明できます。
この考え方は数学によく似ています。
数学もこれはあり得ない、これしかあり得ないという論理の積み重ねですので。
数学は知識ありきの論理クイズみたいなものです。多分。
と、今回は以上になります。それでは
ザ・エンドってね
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