今回は、難しめの問題をご紹介します。
難しい分、解けた達成感は大きいですよ。
さっそく問題にいってみましょう。それでは
レッツゴー
問題
20人の男たちが力比べをしていました。
力比べとして9種目を行いました。
それぞれの種目で1位から20位までを決めていき、順位がそのまま点数になります。
最終結果は9種目の点数の合計で、合計点が1番少ない人が優勝となります。
例えば1人の男が全てで1位になった場合、その男は9点で優勝になります。
また、最終結果を調べたところ、全ての男は自分の最高の順位と、最低の順位の差が3以下であることが分かりました。
ここで問題です。
優勝した男の最終得点が最も大きくなる場合、その点数は何点になるでしょうか？
ただし、優勝者は何人いても良いものとします。
どうでしょか。
ますはよく問題を見て問題の理解から始めましょう。
問題自体が難しくてよく分からないと面白くないですからね。
「よく分かんねぇ」っていう前に考えてみましょう。
考えることは楽しいはずです。
ヒントも書くので、それも合わせて考えてみましょう。
自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。
ヒント1
1位の人は何人存在できるのかを考えてみる
そもそも1位の人は何人存在できるのでしょうか？
9種目あるから9人でしょうか？
ここで大事になってくるのが、
「最終結果を調べたところ、全ての男は自分の最高の順位と、最低の順位の差が3以下であることが分かりました。」
という1文です。
ラストヒント
1位の人は5人以上存在できない
「最終結果を調べたところ、全ての男は自分の最高の順位と、最低の順位の差が3以下であることが分かりました。」
ということなので1位になった人は5位になることができません。
1位と5位のどちらにもなってしまうと、自分の最高の順位と、最低の順位の差が4以上になってしまい、条件に合わなくなるからです。
つまり、1位に1度でもなった場合、最低の順位は4位になります。
ここで、1位の人が5人いた場合を考えてみましょう。
A、B、C、D、Eが1位を取ったとします。
9種目の1位から4位までを5人で独占した場合以下の表のようになります。
| 順位 | |||||||||
| A | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | |
| B | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | ||
| C | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | ||
| D | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | ||
| E | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | ||
順位は適当ですが、この表を見て気付くことがあります。
それは、5人が1位になると誰かは5位にならないと足りないんですよ。
では4人の場合はどうか。
| 順位 | |||||||||
| A | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| B | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| C | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| D | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 |
上の表を見て分かるように、4人ならぎりぎり収まります。
よって、1位になれるのは4人までです。
さあこのヒントを元に考えてみてください。
ここから先に答えがあります。
答え
24点
どのように求めていくのか、解説パートにいってみましょう。
よく分かる解説
解説①
ヒントから1位の人は4人までということは分かりました。
では1位の人が1人の場合から順に見ていきましょう。
解説①-1
1位の人が1人の場合
1位が1人ということは、1人が9種目で全て1位になったということになります。
よって、1位が1人の場合優勝者の最大得点は9点です。
解説①-2
1位の人が2人の場合
2人で9種目の1位をかっさらった場合ですね。
この場合、優勝者の最終得点が最も大きくなるのは、どちらかが1位に5回なった場合です。
なぜかというと、1位に4回しかならないと、その人は準優勝になってしまいますし、1位に6回もなってしまうと、最終得点が少なくなってしまうからです。
よって、この場合の最終得点は、
1位×5回+4位×4回＝21
より21点となります。
よって、1位が2人の場合優勝者の最大得点は21点です。
解説①-3
1位の人が3人の場合
この場合、1位9個と3位9個と4位9個の合計値72点を3分割して、優勝者の点数が24点になります。
これはなぜか。
もしA、B、Cが1位を取った人だとして、Aが25点だったとします。
すると、BかCが23点以下の点数で優勝してしまいます。
どれだけ頑張っても、
A：25点 B：24点 C：23点（優勝）
となるからです。
つまり今回の問題である、「最終得点が最も大きくなる」という題意から外れてしまいます。
よって、1位が3人の場合優勝者の最大得点は24点です。
解説①-4
1位の人が4人の場合
4人の場合、ヒントから9種目の1位から4位をこの4人で独占します。
また、9種目の1位から4位の合計値は
1×9+2×9+3×9+4×9＝90
となり、この平均値は
90÷4＝22.5
となります。
ここから何が分かるかというと、優勝者の最高得点が22であるということです。
解説①-3ように、3で割り切れないので、優勝者は4人にはなり得ません。
また、優勝者の得点が最も大きくなるようにすることを考えると、
A：22点（優勝） B：22点（優勝） C：23点 D：23点
となります。
これら点数の組み合わせ以外では、優勝者の得点は22点より小さくなってしまいます。
よって、1位が4人の場合優勝者の最大得点は22点です。
解説②
1位が3人が優勝者の最高得点が最も大きくなる
以上より、
- 1位の人が1人の場合：9点
- 1位の人が2人の場合：21点
- 1位の人が3人の場合：24点
- 1位の人が4人の場合：22点
となったので、この中で最も大きい点数24点が今回の答えになります。
まとめ
いかがでしたか。
この問題が解けたという猛者はどれくらいいるでしょうか。
この問題はかなり難しいと思っています。
論理的思考が試される良い問題でした。
分からない点や、間違っている点がありましたら、お問い合わせまたはコメントへお願いします。
今回は以上です。それでは
ザ・エンドってね
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