【論理クイズ】「9種目で1位を狙え」 2位じゃダメなんですか?

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論理クイズ

皆さんアッシェンテ!

今回は、難しめの問題をご紹介します。

難しい分、解けた達成感は大きいですよ。

さっそく問題にいってみましょう。それでは

レッツゴー

問題

20人の男たちが力比べをしていました。

力比べとして9種目を行いました。

それぞれの種目で1位から20位までを決めていき、順位がそのまま点数になります。

最終結果は9種目の点数の合計で、合計点が1番少ない人が優勝となります。

例えば1人の男が全てで1位になった場合、その男は9点で優勝になります。

また、最終結果を調べたところ、全ての男は自分の最高の順位と、最低の順位の差が3以下であることが分かりました。

ここで問題です。

優勝した男の最終得点が最も大きくなる場合、その点数は何点になるでしょうか?

ただし、優勝者は何人いても良いものとします。

どうでしょか。

ますはよく問題を見て問題の理解から始めましょう。

問題自体が難しくてよく分からないと面白くないですからね。

「よく分かんねぇ」っていう前に考えてみましょう。

考えることは楽しいはずです。

ヒントも書くので、それも合わせて考えてみましょう。

自力で考えたい人は、ここでいったん止めて考えてみてください。

 

 

 

 

 

ヒント1

1位の人は何人存在できるのかを考えてみる

そもそも1位の人は何人存在できるのでしょうか?

9種目あるから9人でしょうか?

ここで大事になってくるのが、

「最終結果を調べたところ、全ての男は自分の最高の順位と、最低の順位の差が3以下であることが分かりました。」

という1文です。

 

 

 

 

 

ラストヒント

1位の人は5人以上存在できない

「最終結果を調べたところ、全ての男は自分の最高の順位と、最低の順位の差が3以下であることが分かりました。」

ということなので1位になった人は5位になることができません。

1位と5位のどちらにもなってしまうと、自分の最高の順位と、最低の順位の差が4以上になってしまい、条件に合わなくなるからです。

つまり、1位に1度でもなった場合、最低の順位は4位になります。

ここで、1位の人が5人いた場合を考えてみましょう。

A、B、C、D、Eが1位を取ったとします。

9種目の1位から4位までを5人で独占した場合以下の表のようになります。

順位
A 1 1 2 2 3 3 4 4
B 1 1 2 2 3 3 4
C 1 1 2 2 3 4 4
D 1 1 2 3 3 4 4
E 1 2 2 3 3 4 4

順位は適当ですが、この表を見て気付くことがあります。

それは、5人が1位になると誰かは5位にならないと足りないんですよ。

では4人の場合はどうか。

順位
A 1 1 1 2 2 3 3 4 4
B 1 1 2 2 2 3 3 4 4
C 1 1 2 2 3 3 3 4 4
D 1 1 2 2 3 3 4 4 4

上の表を見て分かるように、4人ならぎりぎり収まります。

よって、1位になれるのは4人までです。

 

さあこのヒントを元に考えてみてください。

ここから先に答えがあります。

 

 

 

 

 

答え

24点

どのように求めていくのか、解説パートにいってみましょう。

よく分かる解説

解説①

ヒントから1位の人は4人までということは分かりました。

では1位の人が1人の場合から順に見ていきましょう。

解説①-1

1位の人が1人の場合

1位が1人ということは、1人が9種目で全て1位になったということになります。

よって、1位が1人の場合優勝者の最大得点は9です。

解説①-2

1位の人が2人の場合

2人で9種目の1位をかっさらった場合ですね。

この場合、優勝者の最終得点が最も大きくなるのは、どちらかが1位に5回なった場合です。

なぜかというと、1位に4回しかならないと、その人は準優勝になってしまいますし、1位に6回もなってしまうと、最終得点が少なくなってしまうからです。

よって、この場合の最終得点は、

1位×5回+4位×4回=21

より21点となります。

よって、1位が2人の場合優勝者の最大得点は21点です。

解説①-3

1位の人が3人の場合

この場合、1位9個と3位9個と4位9個の合計値72点を3分割して、優勝者の点数が24点になります。

これはなぜか。

もしA、B、Cが1位を取った人だとして、Aが25点だったとします。

すると、BかCが23点以下の点数で優勝してしまいます。

どれだけ頑張っても、

A:25点 B:24点 C:23点(優勝)

となるからです。

つまり今回の問題である、「最終得点が最も大きくなる」という題意から外れてしまいます。

よって、1位が3人の場合優勝者の最大得点は24点です。

解説①-4

1位の人が4人の場合

4人の場合、ヒントから9種目の1位から4位をこの4人で独占します。

また、9種目の1位から4位の合計値は

1×9+2×9+3×9+4×9=90

となり、この平均値は

90÷4=22.5

となります。

ここから何が分かるかというと、優勝者の最高得点が22であるということです。

解説①-3ように、3で割り切れないので、優勝者は4人にはなり得ません。

また、優勝者の得点が最も大きくなるようにすることを考えると、

A:22点(優勝) B:22点(優勝) C:23点 D:23点

となります。

これら点数の組み合わせ以外では、優勝者の得点は22点より小さくなってしまいます。

よって、1位が4人の場合優勝者の最大得点は22点です。

解説②

1位が3人が優勝者の最高得点が最も大きくなる

以上より、

  • 1位の人が1人の場合:9点
  • 1位の人が2人の場合:21点
  • 1位の人が3人の場合:24点
  • 1位の人が4人の場合:22点

となったので、この中で最も大きい点数24点が今回の答えになります。

まとめ

いかがでしたか。

この問題が解けたという猛者はどれくらいいるでしょうか。

この問題はかなり難しいと思っています。

論理的思考が試される良い問題でした。

分からない点や、間違っている点がありましたら、お問い合わせまたはコメントへお願いします。

今回は以上です。それでは

ザ・エンドってね

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